Из классической электродинамики известны 4
уравнения Максвелла, исчерпывающим образом описывающие электромагнитный
взаимодействия (жирным шрифтом обозначены векторные величины):
1) div E = 4πρ (это уравнение
представляет собой дифференциальную запись закона Кулона, здесь ρ – это
плотность электрического заряда)
2) div H = 0 (это уравнение означает
отсутствие магнитного заряда, подобного электрическому заряду)
3) rot E = - (1/c) ∙ (∂H/∂t) – это уравнение представляет собой закон
электромагнитной индукции
4) rot H = (1/c) ∙ (∂E/∂t) + (4π/c)
∙ j -
это уравнение описывает создание магнитного поля меняющимся электрическим
зарядом или электрическим током (здесь j – это плотность тока)
После того, как теория относительности
ввела представления о четырехмерном пространстве-времени (в которое входят
трехмерное пространство и одна координата времени), аналогичные представления
были перенесены и на другие области, в частности, на электродинамику.
Так, вместо напряженностей электрического
и магнитного поля Е и Н было
введено понятие «обобщенного поля» А, связанного с напряженностями
электрического и магнитного поля, а также с потенциалом электрического поля
φ следующим образом:
H = rot A
E = - (1/c)
∙ (∂E/∂t) – grad φ
Тогда трехмерное «обобщенное поле» А и
потенциал φ вместе образуют «четырехмерный потенциал», подобно тому, как
три координаты пространства и одна координата времени образуют «четырехмерное
пространство-время»:
Ai = (φ, A)
Аналогичным образом вводится и
четырехмерный вектор электрического тока:
jl =
(cρ, j), где плотность тока j можно записать как j = ρv, где v – скорость носителей тока.
Введем тензорную величину Fik:
Fik = (∂Ak/∂xi) – (∂Ai/∂xk)
Тогда будет иметь силу следующее
уравнение:
∂Fik/∂xk =
(4π/c)
∙ ji
Покажем, что это уравнение эквивалентно
двум уравнениям Максвелла. Распишем его по i = 0,1, 2, 3. Например, для i=1:
(1/c) ∙ (∂F10/∂t) + (∂F11/∂x) + (∂F12/∂y) + (∂F13/∂z) = (4π/c) ∙ j1
Подставляя сюда Fik =
(∂Ak/∂xi) – (∂Ai/∂xk), будем иметь:
(1/c) ∙ (∂Ex/∂t) - (∂Hz/∂y) - (∂Hy/∂z) = - (4π/c) ∙ jx
Вместе с i=1 и i=2 оно образует одно векторное уравнение,
которое и есть уравнение Максвелла: rot H = (1/c) ∙ (∂E/∂t) + (4π/c)
∙ j. А
подстановка i=0
дает второе уравнение Максвелла: div E =
4πρ.
Аналогично, следующее уравнение:
(∂Fik/∂xl) + (∂Fkl/∂xi) + (∂Fli/∂xl) = 0
является эквивалентом двух уравнений
Максвелла: rot E =
- (1/c)
∙ (∂H/∂t) и div H = 0.
К полученным уравнением следует добавить
еще одно (т.н. условие Лоренца), выводимое из соотношения между А и Е:
∂Ai/∂xi = 0
Таким образом, получаем четыре уравнения,
которые полностью эквивалентны четырем уравнениям Максвелла:
∂Ai/∂xi = 0
Fik = (∂Ak/∂xi) – (∂Ai/∂xk)
(∂Fik/∂xl) + (∂Fkl/∂xi) + (∂Fli/∂xl) = 0
∂Fik/∂xk = (4π/c) ∙ ji
Подобно тому, как из четырех уравнений
Максвелла можно вывести уравнения для электромагнитных волн (а именно, для
скорости распространения колебаний E и Н в
электромагнитных волнах), то такие же уравнения можно вывести и из этих четырех
уравнений:
∆A –
(1/с2)(∂2A/∂t2) = (4π/c)
∙ j
∆φ – (1/с2)(∂2φ/∂t2) = - 4πρ
При отсутствии зарядов и токов получим
волновые уравнения:
∆A –
(1/с2)(∂2A/∂t2) = 0
∆φ – (1/с2)(∂2φ/∂t2) = 0,
которые описывают волны,
распространяющиеся со скоростью света – точно такие же уравнения получается для
напряженностей электрического и магнитного полей Е и Н.
Таким образом, мы видим, что полученные 4
уравнения электродинамики, которыми оперирует теория относительности, по сути
своей ничем не отличаются от четырех классических уравнений Максвелла. И все
эти преобразования были нужны только для того, чтобы искусственно внести
представления о четырехмерных координатах.