КРУГЛЫЕ ТЕЛА

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ КРУГЛЫЕ ТЕЛА 1. ЦИЛИНДР И КОНУС 105. Поверхность вращения. Поверхностью вращения называется поверхность, которая получается от вращения какой-нибудь линии (MN, черт. 121), называемой образующей, вокруг неподвижной прямой {АВ), называемой осью, при этом предполагается, что образующая (MN) при своём вращении неизменно связана с осью (АВ). Возьмём на образующей какую-нибудь точку Р и опустим из неё на ось перпендикуляр РО. Очевидно, что при вращении не изменяются ни длина этого перпендикуляра, ни величина угла АОР, ни положение точки О. Поэтому каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси АВ и центр которой лежит на пересечении этой плоскости с осью. Отсюда следует: Плоскость, перпендикулярная к оси, пересекаясь с поверхностью вращения, даёт в сечении окружность. Всякая секущая плоскость, проходящая через ось, называется меридиональной плоскостью, а линия её пересечения с поверхностью вращения —меридианом. Все меридианы равны между собой, потому что при вращении каждый из них проходит через то положение, в котором ранее был исякий другой меридиан, 106. Цилиндрическая поверхность. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой (АВ, черт. 122), перемещающейся в пространстве параллельно данной прямой и пересекающей при этом данную линию (МN). Прямая АВ называется образующей, а линия МN—направляющей. 107. Цилиндр. Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями (черт. 123). Часть цилиндрической поверхности, заключённая между плоскостями, называется боковой поверхностью, а части плоскостей, отсекаемые этой поверхностью, — основаниями цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований есть высота цилиндра. Цилиндр называется прямым или наклонным, смотря по тому, перпендикулярны или наклонны к основаниям его образующие. Прямой цилиндр (черт. 124) называется круговым, если его основания— круги. Такой цилиндр можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольника ОАА1  вокруг стороны ОО1 как оси; при этом сторона АА1 описывает боковую поверхность, а стороны ОА и O1A1 — круги оснований. Всякий отрезок ВС, параллельный ОА, описывает также круг, плоскость которого перпендикулярна к оси. Отсюда следует: Сечение прямого кругового цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, есть круг. В элементарной геометрии рассматривается только прямой круговой цилиндр; для краткости его называют просто цилиндром. Иногда приходится рассматривать такие призмы, основания которых— многоугольники, вписанные в основания цилиндра или описанные около них, а высоты равны высоте цилиндра; такие призмы называются вписанными в цилиндр или описанными около него. 108. Коническая поверхность. Конической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой (АВ, черт. 125), перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку (S) и пересекает данную линию (МN). Прямая АВ называется образующей, линия МN—направляющей, а точкa S —вершиной конической поверхности. 109. Конус. Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по, одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины (черт. 126). Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью, — основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса. Конус называется прямым круговым, если его основание есть круг, а высота проходит через центр основания (черт. 127). Такой конус можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольного треугольника SOA вокруг катета SO как оси. При этом гипотенуза SA описывает боковую поверхность, а катет ОА—основание конуса. Всякий отрезок ВО1, параллельный ОА, описывает при вращении круг, плоскость которого перпендикулярна к оси. Отсюда следует; Сечение прямого кругового конуса плоскостью, параллельной основанию, есть круг. В элементарной геометрии рассматривается только прямой круговой конус, который для краткости называется просто конусом. Иногда приходится рассматривать такие пирамиды, основания которых суть многоугольники, вписанные в основание конуса или описанные около него, а вершина совпадает с вершиной конуса. Такие пирамиды называются вписанными в конус или описанными около него. 110. Усечённый конус. Так называется часть полного конуса, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, по которым параллельные плоскости пересекают конус, называются основаниями усечённого конуса. Усечённый конус (черт. 128) можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции ОАА1О1 вокруг стороны ОО1, перпендикулярной к основаниям трапеции.

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ КРУГЛЫЕ ТЕЛА Поверхность цилиндра и конуса 111. Определения. Боковые поверхности цилиндра и конуса принадлежат к поверхностям кривым, т. е. к таким, никакая часть которых не может совместиться с плоскостью. Поэтому мы должны особо определить, чтo надо разуметь под величиной боковой поверхности цилиндра или конуса, когда сравнивают эти поверхности с плоской единицей площади. Мы будем придерживаться следующих определений: 1) За величину боковой поверхности цилиндра принимают предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот цилиндр правильной призмы, когда число сторон правильного многоугольника, вписанного в основание, неограниченно удваивается (и, следовательно, площадь каждой боковой грани неограниченно убывает). 2) За величину боковой поверхности конуса (полного или усечённого) принимается предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной пирамиды (полной или усечённой), когда число сторон правильного многоугольника, вписанного в основание, неограниченно удваивается (и, следовательно, площадь каждой боковой грани неограниченно убывает). 112. Теорема. Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. Впишем в цилиндр (черт. 129) какую-нибудь правильную призму. Обозначим буквами р и Н числа, выражающие длины периметра основания и высоты этой призмы. Тогда боковая поверхность её выразится произведением р• Н. Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает. Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а высота Н останется без изменения; следовательно, боковая поверхность призмы, равная всегда произведению р• Н, будет стремиться к пределу С• Н. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности цилиндра. Обозначив боковую поверхность цилиндра буквой S, можем написать: S = С• Н 113. Следствия. 1) Если R обозначает радиус основания цилиндра, то С = 2πR, поэтому боковая поверхность цилиндра выразится формулой: S = 2πR• Н 2) Чтобы получить полную поверхность цилиндра, достаточно приложить к боковой поверхности сумму площадей двух оснований; поэтому, обозначай полную поверхность через Т, будем иметь: Т =  2πRН + πR2 + πR2 = 2πR(Н + R), 114. Теорема. Боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей. Впишем в конус (черт. 130) какую-нибудь правильную пирамиду и обозначим буквами р и l числа, выражающие длины периметра основания и апофемы этой пирамиды. Тогда боковая поверхность её выразится произведением 1/2 р• l . Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает. Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а апофема l будет иметь пределом образующую конуса (так как из /\ SAK следует, что SA — SK< AK); значит, если образующую конуса обозначим буквой L, то боковая поверхность вписанной пирамиды, постоянно равная 1/2 р• l, будет стремиться к пределу 1/2С• L. Этот предел и принимается  за величину боковой поверхности конуса. Обозначив боковую поверхность конуса буквой S, можем написать: S = 1/2С• L = С• 1/2L 115. Следствия. 1) Так как С = 2πR, то боковая поверхность конуса выразится формулой: S = 1/2• 2πR • L = πRL 2) Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь: T = πRL + πR2 = πR(L + R). 116. Теорема. Боковая поверхность усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую. Впишем в усечённый конус (черт. 131) какую-нибудь правильную усечённую пирамиду и обозначим буквами р, р1 и l числа, выражающие в одинаковых линейных единицах длины периметров нижнего и верхнего оснований и апофемы этой пирамиды. Тогда боковая поверхность вписанной пирамиды равна  1/2 (р +  р1) • l  При неограниченном возрастании числа боковых граней вписанной пирамиды периметры р и р1 стремятся к пределам, принимаемым за длины С и С1 окружностей оснований, а апофема l имеет пределом образующую L усечённого конуса. Следовательно, величина боковой поверхности вписанной пирамиды стремится при этом к пределу, равному     (С + С1) L.  Этот предел и принимается за величину боковой поверхности усечённого конуса. Обозначив боковую поверхность усечённого конуса буквой S, будем иметь: S =  1/2 (С + С1) L 117. Следствия. 1) Если R и R1 означают радиусы окружностей нижнего и верхнего оснований, то боковая поверхность усечённого конуса будет: S =  1/2 (2πR + 2πR1) L = π (R + R1) L. 2) Если в трапеции ОО1А1А (черт. 131), от вращения которой получается усечённый конус, проведём среднюю линию ВС, то получим: ВС = 1/2(OA + O1A1) = 1/2 • (R + R1), откуда R + R1 = 2ВС. Следовательно, S = 2πBC• L, т. е. боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на образующую. 3) Полная поверхность Т усечённого конуса выразится так: T = π ( R2 + R12 + RL + R1L) 118. Развёртка цилиндра и конуса. Впишем в цилиндр (черт. 132) какую-нибудь правильную призму и затем вообразим, что боковая её поверхность разрезана вдоль бокового ребра. Очевидно, что, вращая её грани вокруг рёбер, мы можем развернуть эту поверхность в плоскую фигуру без разрыва и без складок. Тогда получится то, что называется развёрткой боковой поверхности призмы. Она представляет собой прямоугольник КLМN, составленный из стольких отдельных прямоугольников, сколько в призме боковых граней. Основание его МN равно периметру основания призмы, а высота КN есть высота призмы. Вообразим теперь, что число боковых граней вписанной призмы неограниченно удваивается; тогда её развёртка будет всё удлиняться, приближаясь к предельному прямоугольнику КРQN, у которого длина основания равна длине окружности основания цилиндра, а высота есть высота цилиндра. Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра. Подобно этому вообразим, что в конус вписана какая-нибудь правильная пирамида (черт. 133). Мы можем разрезать её боковую поверхность по одному из рёбер и затем, повёртывая грани вокруг рёбер, получить её плоскую развёртку в виде многоугольного сектора SKL, составленного из стольких равнобедренных треугольников, сколько в пирамиде боковых граней. Отрезки SK, Sа,  Sb, ... равны боковому ребру пирамиды (или образующей конуса), а длина ломаной Kаb...L равна периметру основания пирамиды. При неограниченном удвоении числа боковых граней вписанной пирамиды развёртка её увеличивается, приближаясь к предельному сектору SKM, у которого длина дуги KМ равна длине окружности основания, а радиус SK равен образующей конуса. Этот сектор называется развёрткой боковой поверхности конуса. Подобно этому можно получить развёртку боковой поверхности усечённого конуса (черт. 133) в виде части кругового кольца KМNР. Легко видеть, что боковая поверхность цилиндра или конуса равна площади соответствующей развёртки.

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ КРУГЛЫЕ ТЕЛА Объём цилиндра и конуса 119. Определения. 1) За величину объёма цилиндра принимается предел, к которому стремится объём правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число боковых граней этой призмы неограниченно удваивается. 2) За величину объёма конуса (полного или усечённого) принимается предел, к которому стремится объём правильной пирамиды (полной или усечённой), когда число боковых граней пирамиды неограниченно удваивается. 120. Теоремы. 1) Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. 2) Объём конуса равен произведению площади основания на треть высоты. Впишем в цилиндр какую-нибудь правильную призму, а в конус— какую-нибудь правильную пирамиду; тогда, обозначив площадь основания призмы или пирамиды буквой В1, высоту их буквой Н и объём — V1 получим: для призмы V1 = В1Н; для пирамиды V1 = 1/3В1Н. Вообразим теперь, что число боковых граней призмы и пирамиды неограниченно удваивается. Тогда В1 будет иметь пределом площадь В основания цилиндра или конуса, а высота Н остаётся без изменения; значит, произведения В1Н и 1/3 В1Н будут стремиться к пределам ВН и 1/3ВН, и потому объём V цилиндра или конуса будет: для цилиндра V =  ВН; для конуса V = 1/3 ВН. 121. Следствие. Если радиус основания цилиндра или конуса обозначим  через R,  то В = πR2,  поэтому объём  цилиндра  V = πR2Н; объём конуса   V =  1/3 πR2Н. 122. Теорема. Объём усечённого конуса равен сумме объёмов трёх конусов, имеющих одинаковую высоту с усечённым конусом, а основаниями: один — нижнее основание этого конуса, другой — верхнее, третий— круг, площадь которого есть среднее геометрическое между площадями верхнего и нижнего оснований. Теорему эту докажем совершенно так же, как раньше мы доказали теорему для объёма усечённой пирамиды (§ 92). На верхнем основании усечённого конуса (черт. 134) поместим такой малый конус (с высотой h), который дополняет данный усечённый конус до полного. Тогда объём V усечённого конуса можно рассматривать как разность объёмов полного конуса и дополнительного. Поэтому V = 1/3 πR2 (H + h) — 1/3 πr2h  = 1/3 π [R2H + (R2— r2) h]. Из подобия треугольников находим: . R/r =   H+h/h    откуда получаем: Rh = rH + rh;   (R — r)h = rH;    h = rH/R—r Поэтому V = 1/3 π [R2H + (R + r) rН] = 1/3 πH (R2 + Rr + r2) =1/3 πR2H + 1/3 πRrH + 1/3 πr2H Так как πR2 выражает площадь нижнего основания, πr2 —площадь верхнего основания и πRr = √πR2 • πr2  есть среднее геометрическое между площадями верхнего и нижнего оснований, то полученная нами формула вполне подтверждает теорему.

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ КРУГЛЫЕ ТЕЛА Подобные цилиндры и конусы 123. Определение. Два цилиндра или конуса называются подобными, если они произошли от вращения подобных прямоугольников или прямоугольных треугольников вокруг сходственных сторон. Пусть (черт. 135 и 136) h и h1 будут высоты двух подобных цилиндров или конусов, r и r1 — радиусы их оснований, l и l1 — образующие; тогда согласно определению откуда (по свойству равных отношений) находим: Заметив эти пропорции, докажем следующую теорему. 124. Теорема. Боковые и полные поверхности подобных цилиндров или конусов относятся, как квадраты радиусов или высот; объёмы — как кубы радиусов или высот. Пусть S, Т и V будут соответственно боковая поверхность, полная поверхность и объём одного цилиндра или конуса; S1, Т1 и V1 —те же величины для другого цилиндра или конуса, подобного первому. Тогда будем иметь для цилиндров: для конусов:

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ КРУГЛЫЕ ТЕЛА II ШАР Сечение шара плоскостью 125. Определение. Тело, происходящее от вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром, а поверхность, образуемая при этом полуокружностью, называется шаровой или сферической поверхностью. Можно также сказать, что эта поверхность есть геометрическое место точек, одинаково удалённых от одной и той же точки (называемой центром шара). Отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой поверхности, называется радиусом, а отрезок, соединяющий две точки поверхности и проходящий через центр, называется диаметром шара. Все радиусы одного шара равны между собой; всякий диаметр равен двум радиусам. Два шара одинакового радиуса равны, потому что при вложении они совмещаются. 126. Теорема.   Всякое сечение шара плоскостью есть круг. 1) Предположим сначала, что (черт. 137) секущая плоскость АВ проходит через центр О шара. Все точки линии пересечения принадлежат шаровой поверхности и поэтому одинаково удалены от точки О, лежащей в секущей плоскости; следовательно, сечение есть круг с центром в точке О. 2) Положим теперь, что секущая плоскость СО не проходит через центр. Опустим на неё из центра перяендикуляр OK и возьмём на линии пересечения какую-нибудь точку М. Соединив её с О и А, получим прямоугольный треугольник МОК,  из которого   находим: MK =√OM2 — ОК2  .        (1) Так как длины отрезков ОМ и ОК не изменяются при изменении положения точки М на линии пересечения, то расстояние МК есть величина постоянная для данного сечения; значит, линия пересечения есть окружность, центр которой есть точка К. 127. Следствие. Пусть R и r будут длины радиуса шара и  радиуса круга сечения, а  d — расстояние секущей плоскости от центра, тогда равенство (1) примет вид: r =√R2 — d2  . Из этой формулы выводим: 1) Наибольший радиус сечения получается при d = 0, т. е. когда секущая плоскость  проходит  через  центр  шара.  В  этом  случае r =R. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом. 2) Наименьший радиус сечения  получается  при d = R. В этом случае r = 0, т. е. круг сечения обращается в точку. 3) Сечения, равноотстоящие от центра шара, равны. 4) Из двух сечений, неодинаково удалённых от центра шара, то, которое ближе к центру, имеет больший радиус. 128. Теорема. Всякая плоскость (Р, черт. 138), проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части. Возьмём на поверхности шара какую-нибудь точку А; пусть АВ есть перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость Р. Продолжим АВ до пересечения с поверхностью шара в точке С. Проведя ВО, мы получим два равных прямоугольных треугольника АОВ и ВОС (общий катет ВО, а гипотенузы равны, как радиусы шара); следовательно, АВ = ВС; таким образом, всякой точке А поверхности шара соответствует другая точка С этой поверхности, симметричная относительно плоскости Р с точкой А. Значит, плоскость Р делит поверхность шара на две симметричные части. Эти части не только симметричны, но и равны, так как, разрезав шар по плоскости Р, мы можем вложить одну из двух частей в другую и совместить эти части. 129. Теорема. Через две точка шаровой поверхности, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и только одну. Пусть на шаровой поверхности (черт. 139), имеющей центр О, взяты какие-нибудь две точки, например С и N, не лежащие на одной прямой с точкой О. Тогда через точки С, О к N можно провести плоскость. Эта плоскость, проходя через центр О, даст в пересечении с шаровой поверхностью окружность большого круга. Другой окружности большого круга через те же две точки С и N провести нельзя. Действительно, всякая окружность большого круга должна, по определению, лежать в плоскости, проходящей через центр шара; следовательно, если бы через С и N можно было провести ещё другую окружность большого круга, тогда выходило бы, что через три точки С, N и О, не лежащие на одной прямой, можно провести две различные плоскости, что невозможно. 130. Теорема. Окружности двух больших кругов при пересечении делятся пополам. Центр О (черт. 139), находясь на плоскостях обоих больших кругов, лежит на прямой, по которой эти круги пересекаются; значит, эта прямая есть диаметр того и другого круга, а диаметр делит окружность пополам.

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ КРУГЛЫЕ ТЕЛА II ШАР Плоскость, касательная к шару 131. Определение. Плоскость, имеющая с шаровой поверхностью только одну общую точку, называется касательной плоскостью. Возможность существования такой плоскости доказывается следующей теоремой. 132. Теорема. Плоскость (Р, черт. 140), перпендикулярная к радиусу (АО) в конце его, лежащем на поверхности шара, есть касательная плоскость. Возьмём на плоскости Р произвольную точку В и проведём прямую ОВ. Так как ОВ—наклонная, а ОА—перпендикуляр к плоскости Р, то ОВ > ОА. Поэтому точка В лежит вне шаровой поверхности; следовательно, у плоскости Р есть только одна общая точка А с шаровой поверхностью; значит, эта плоскость касательная. 133. Обратная теорема. Касательная плоскость (Р, черт. 140) перпендикулярна к радиусу {ОА), проведённому в точку касания. Так как, по определению, точка А есть единственная общая точка у плоскости с шаровой поверхностью, то всякая другая точка плоскости лежит вне шаровой поверхности и, следовательно, отстоит от центра на большее расстояние, чем А; таким образом, отрезок ОА есть кратчайшее расстояние точки О от плоскости Р, т. е. ОА есть перпендикуляр к Р. Прямая, имеющая одну общую точку с шаровой поверхностью, называется касательной к шару. Легко видеть, что существует бесчисленное множество прямых, касающихся шара в данной точке. Действительно, всякая прямая (АС, черт. 140), лежащая в плоскости, касательной к шару в данной точке (А), и проходящая через точку касания (А), есть касательная к шару в этой точке.

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ КРУГЛЫЕ ТЕЛА II ШАР Поверхность шара и его частей 134. Определения. 1) Часть шаровой поверхности (черт. 141), отсекаемая от неё какой-нибудь плоскостью (АА1), называется сегментной поверхностью. Окружность АА1 называется основанием, а отрезок КМ радиуса, перпендикулярного к плоскости сечения,— высотой сегментной поверхности. 2) Часть шаровой поверхности, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями (АА1 и ВВ1), называется шаровым поясом или зоной. Окружности сечений АА1 и ВВ1 называются основаниями, а расстояние KL между параллельными плоскостями — высотой пояса. Шаровой пояс и сегментную поверхность можно рассматривать как поверхность вращения, в то время как полуокружность MABN, вращаясь вокруг диаметра MN, описывает шаровую поверхность, часть её АВ описывает пояс, а часть МА— сегментную поверхность. Для нахождения величины шаровой поверхности и её частей мы докажем следующую лемму: 135. Лемма. Боковая поверхность каждого из трёх тел: конуса, усечённого конуса и цилиндра — равна произведению высоты тела на длину окружности, у которой радиус есть перпендикуляр, восставленный к образующей из её середины до пересечения с осью. 1) Пусть конус образуется (черт. 142) вращением треугольника ABC вокруг катета АС. Если D есть середина образующей АВ, то (§ 115) боковая поверхность конуса = 2π • ВС • AD.       (1) Проведя DE _|_ АВ, получим два подобных треугольника ABC и ADE (они прямоугольные и имеют общий угол А); из их подобия выводим: ВС : ЕD = АС : АD, откуда ВС • AD = ЕD • АС, и равенство (1) даёт: » боковая поверхность конуса = 2π • ЕD • АС, что и требовалось доказать. 2) Пусть усечённый конус (черт. 143) образуется вращением трапеции АВСD вокруг стороны АD. Проведя среднюю линию ЕР, будем иметь (§ 117): боковая поверхность усечённого конуса = 2π  • ЕF • ВС.       (2) Проведём ЕG _|_ ВС и ВН _|_ DС; тогда получим два подобных треугольника ЕFG и ВСН (стороны одного перпендикулярны к сторонам другого); из их подобия выводим: ЕF : ВН = ЕG : ВС, откуда ЕF • ВС = ВН • ЕG = АD • ЕG. Поэтому равенство (2) можно записать так: боковая поверхность усечённого конуса = 2π  • ЕG • АD, что и требовалось доказать. 3) Теорема остаётся верной и в применении к цилиндру, так как окружность, о которой говорится в теореме, равна окружности основания цилиндра. 136. Определение. За величину поверхности шарового пояса, образуемого вращением (черт. 144) какой-нибудь части (ВЕ) полуокружности вокруг диаметра (АF), принимают предел, к которому стремится поверхность, образуемая вращением вокруг того же диаметра правильной  вписанной ломаной  линии (ВСDЕ), когда  её стороны неограниченно уменьшаются (и, следовательно, число сторон неограниченно увеличивается). Это определение распространяется и на сегментную поверхность, и на шаровую поверхность; в последнем случае ломаная линия вписывается в целую полуокружность. 137. Теоремы. 1) Сегментная поверхность равна произведению её высоты на длину окружности большого круга. 2) Поверхность шарового пояса равна произведению его высоты на длину окружности большого круга. 1) Впишем в дугу AF (черт. 145), образующую при вращении сегментную поверхность, правильную ломаную линию АСDЕF с произвольным числом сторон. Поверхность, получающаяся от вращения этой ломаной, состоит из частей, образуемых вращением сторон АС, СD, DE и т. д. Эти части представляют собой боковые поверхности или полного конуса (от вращения АС), или усечённого конуса (от вращения СD, ЕF,...), или цилиндра (от вращения DЕ, если DЕ || АВ). Поэтому мы можем применить к ним лемму § 135. При этом заметим, что каждый из перпендикуляров, восставленных из середин образующих до пересечения с oсью, равен апофеме ломаной линии. Обозначив эту апофему буквой а, получим: поверхность, образованная вращением АС = Ас • 2πа;  "                       "                        "              СD = сd • 2πа;  "                       "                        "              DE = de • 2πа; и т. д. Сложив эти равенства почленно, найдём: поверхность, образованная вращением АСDЕF = Аf • 2πа. При неограниченном увеличении числа сторон вписанной ломаной апофема а стремится к пределу, равному радиусу шара R, а отрезок Аf остаётся без изменения; следовательно, предел поверхности, образованной вращением АСDЕF = Аf  • 2πR. Но предел поверхности, образованной вращением АСDЕF, принимают за величину сегментной поверхности, а отрезок Аf есть высота Н сегментной поверхности; поэтому сегментная поверхность =  Н • 2πR = 2πRH. 2) Предположим, что правильная ломаная линия вписана не в дугу AF, образующую сегментную поверхность, а в какую-нибудь дугу СF, образующую шаровой пояс (черт. 145). Это изменение, как легко видеть,   нисколько  не влияет  на ход  предыдущих  рассуждений, поэтому и вывод остаётся тот же, т. е. что поверхность шарового пояса = Н • 2πR = 2πRH, где буквой Н обозначена высота cf шарового пояса. 138. Теорема. Поверхность шара равна произведению длины окружности большого круга на диаметр,  или: поверхность шара равна учетверённой площади большого круга. Поверхность шара, образуемую вращением полуокружности ADB (черт. 145), можно рассматривать как сумму поверхностей, образуемых вращением дуг AD и DB. Поэтому согласно предыдущей теореме можно написать: поверхность шара = 2πR• Ad + 2πR • dB = 2πR (Ad + dB) = 2πR • 2R=4πR2. 139. Следствие. Поверхности шаров относятся, как квадраты их радиусов или диаметров, потому что, обозначая через R и R1 радиусы,  а  через S и S1 поверхности двух шаров, будем иметь: S: S1  = 4πR2 : 4πR12 = R2 : R12 = 4R2 : 4R12 = (2R)2 : (2R1)2.

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ КРУГЛЫЕ ТЕЛА II ШАР Объём шара и его частей 140. Определение. Тело, получаемое от вращения (черт. 146) кругового сектора (COD) вокруг диаметра (АВ), не пересекающего ограничивающую его дугу, называется шаровым сектором. Это тело ограничено боковыми поверхностями двух конусов и поверхностью шарового пояса; последняя называется основанием шарового сектора. Один из радиусов кругового сектора может совпадать с осью вращения; например, сектор АОС, вращаясь вокруг АО, производит шаровой сектор ОСАС1 , ограниченный боковой поверхностью конуса и сегментной поверхностью. Для нахождения объёма шарового сектора и целого шара мы предварительно докажем следующую лемму. 141. Лемма. Если /\ ABC (черт. 147) вращается вокруг оси ху, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через его вершину А, но не пересекает стороны ВС, то объём тела, получаемого при этом вращении, равен произведению поверхности, образуемой противоположной стороной ВС, на одну треть высоты h, опущенной на эту cторону. При доказательстве рассмотрим три случая: 1) Ось совпадает со стороной АВ (черт. 148). В этом случае искомый объём равен сумме объёмов двух конусов, получаемых вращением прямоугольных треугольников BCD и DCA. Первый объём  равен   1/3 π CD2 • DB,  а второй  1/3 π CD2 • DA; поэтому объём, образованный вращением ABC, равен 1/3 π CD2 (DB+DA) = 1/3 π CD • CD • BA Произведение CD • BA равно ВС • h, так как каждое из этих произведений выражает двойную площадь  /\ ABC ; поэтому объём ABC = 1/3 π CD • BC• h. Но произведение π CD • BC равно боковой поверхности конуса BDC; значит, объём  ABC = (поверхность BC)• 1/3 h. 2) Ось не совпадает с АВ и не параллельна ВС (черт. 149). В этом случае искомый объём равен разности объёмов тел, производимых вращением треугольников АМС и АМВ. По доказанному в первом случае объём AMС = 1/3 h • (поверхность МС),  объём AMB = 1/3 h • (поверхность MB); следовательно, объём ABC = 1/3 h • (поверхность МС—поверхность МВ) = 1/3 h • (поверхность ВС). 3) Ось параллельна стороне ВС (черт. 150). Тогда искомый объём равен объёму, производимому вращением DEBC, без суммы объёмов, производимых вращением треугольников АЕВ и ACD; первый из них равен π DC2 • ED; второй 1/3 π EB2 • EA и третий 1/3 π DC2 • AD. Приняв теперь во внимание, что ЕВ = DC, получим: объём АВС = π DC2 [ED — 1/3(ЕА + AD)] = π DC2( ED —1/3ED ) = 2/3 • π DC2• ED. Произведение  2π DC• ED выражает боковую поверхность цилиндра, образуемую стороной ВС; поэтому объём АBС = (поверхность BC)• 1/3DC = (поверхность BC) • 1/3 h. 142. Определение. За величину объёма шарового сектора, получаемого вращением вокруг диаметра (ЕF, черт. 151) кругового сектора (AOD), принимается предел, к которому стремится объём тела, образуемого вращением многоугольного сектора, который ограничен крайними радиусами (ОА и OD) и правильной ломаной линией (ABCD), вписанной в дугу кругового сектора, когда число сторон её неограниченно увеличивается. 143. Теорема. Объём шарового сектора равен произведению поверхности соответствующего шарового пояса (или соответствующей сегментной поверхности) на треть радиуса. Пусть шаровой сектор производится вращением вокруг диаметра ЕF (черт. 151) сектора AOD. Определим его объём V. Для этого впишем в дугу AD правильную ломаную линию ABCD с произвольным числом сторон. Многоугольный сектор OABCD образует при вращении некоторое тело, объём которого обозначим буквой V1. Объём этот есть сумма объёмов тел, получаемых вращением треугольников ОАВ, ОВС, OCD вокруг оси ЕF. Применим к этим объёмам лемму, доказанную в § 141, причём заметим, что высоты треугольников равны апофеме а вписанной ломаной. Согласно этой лемме будем иметь: V1= (поверхность АВ) • a/3+ (поверхность ВС) • a/3 + .. . = (поверхность ABCD) • a/3 . Вообразим теперь, что число сторон ломаной линии неограниченно увеличивается. При этом условии поверхность ABCD стремится к пределу, именно к поверхности шарового пояса AD, а апофема а имеет пределом радиус R; следовательно, V= пределу V1 = (поверхность пояса AD) • R/3. Замечание. Теорема и её доказательство не зависят от того, будет ли один из радиусов кругового сектора совпадать с осью вращения или нет. 144. Теорема. Объём шара равняется произведению его поверхности на треть радиуса. Разбив полукруг ABCD (черт. 152), производящий шар, на какие-нибудь круговые секторы АОВ, ВОС, COD, мы заметим, что объём шара можно рассматривать как сумму объёмов шаровых секторов, производимых вращением этих круговых секторов. Так как согласно предыдущей теореме объём АОВ = (поверхность АВ)  • 1/3 R,  объём ВОС = (поверхность BC)  • 1/3 R,  объём COD = (поверхность CD)  • 1/3 R, то объём шара = (поверхность АВ+поверхность ВС+поверхность CD)• 1/3 R = = (поверхность ABCD)• 1/3 R. Замечание. Можно и непосредственно рассматривать объём шара как объём тела, образованного вращением вокруг диаметра кругового сектора, центральный угол которого равен 180°. В таком случае объём шара можно получить как частный случай объёма шарового сектора, у которого шаровой пояс составляет всю поверхность шара. В силу предыдущей теоремы объём шара будет при этом равен его поверхности, умноженной на одну треть радиуса. 145. Следствие 1. Обозначим высоту шарового пояса или сегментной поверхности через H, радиус шара—через R, а диаметр — через D; тогда поверхность пояса или сегментная поверхность выразится, как мы видели (§ 137), формулой 2πRH, а поверхность шара (§ 188)—формулой 4πR2; поэтому объём шарового сектора = 2πRH• 1/3 R= 2/3πR2H;  объём шара = 4πR2• 1/3 R= 4/3πR3    1)  или  объём шара = 4/3π ( D/2 )3 = 1/6πD3.   Отсюда видно, что объёмы шаров относятся, как кубы их радиусов или диаметров. 1) Объём шара может быть выведен (не вполне, впрочем, строго) следующим простым рассуждением. Вообразим, что вся поверхность шара разбита на очень малые участки и что все точки контура каждого участка соединены радиусами с центром шара. Тогда шар разделится на очень большое число маленьких тел, из которых каждое можно рассматривать как пирамиду с вершиной в центре шара. Так как объём пирамиды равен произведению поверхности основания на третью часть высоты (которую можно принять равной радиусу шара), то объём шара, равный, очевидно, сумме объёмов всех пирамид, выразится так: объём шара = S • 1/3 R, где S—сумма поверхностей оснований всех пирамид. Но эта сумма поверхностей оснований должна составить поверхность шара, и, значит, объём шара = 4πR2• 1/3 R = 4/3πR3. Таким образом, объём шара может быть найден посредством формулы его поверхности. Обратно, поверхность шара может быть найдена с помощью формулы его объёма из равенства: S • 1/3 R = 4/3πR3 откуда S = 4πR2. 146. Следствие 2. Поверхность и объём шара соответственно составляют 2/3 полной поверхности и объёма цилиндра, описанного около шара. Действительно, у цилиндра, описанного около шара, радиус основания равен радиусу шара, а высота равна диаметру шара; поэтому для такого цилиндра полная поверхность описанного цилиндра = 2πR• 2R + 2πR2  = 6πR2 , объём описанного цилиндра = πR2 • 2R = 2πR3. Отсюда видно, что 2/3  полной поверхности этого цилиндра равны 4πR2, т. е. равны поверхности шара, а 2/3 объёма цилиндра составляют  4/3 πR3, т. е. объём шара. Эго предложение было доказано Архимедом (в III в. до н. э.). Архимед выразил желание, чтобы чертёж этой теоремы был изображён на его гробнице, что и было исполнено римским военачальником Марцеллом (Ф. Кэджори, История элементарной математики). Предлагаем учащимся как полезное упражнение доказать, что поверхность и объём шара составляют  4/9   соответственно полной поверхности и объёма описанного конуса, у которого образующая равна диаметру основания. Соединяя это предложение с указанным в следствии 2, мы можем написать такое равенство, где Q обозначает поверхность или объём: Q шара/4  = Q цилиндра/6 =  Q конуса/9 147. Замечание. Формулу для объёма шара можно весьма просто получить, основываясь на принципе Кавальери (§ 89), следующим образом. Пусть на одной и той же плоскости H (черт. 153) помещены шар радиуса R и цилиндр, радиус основания которого равен R, а высота 2R (значит, это такой цилиндр, который может быть описан около шара радиуса R). Вообразим далее, что из цилиндра вырезаны и удалены два конуса, имеющие общую вершину на середине а оси цилиндра, а основания — у одного верхнее основание цилиндра, у другого нижнее. От цилиндра останется тогда некоторое тело, объём которого, как мы сейчас увидим, равен объёму нашего шара. Проведём какую-нибудь плоскость, параллельную плоскости Н и которая пересекалась бы с обоими телами. Пусть расстояние этой плоскости от центра шара будет d, а радиус круга, полученного в сечении плоскости с шаром, пусть будет r. Тогда площадь этого круга окажется равной πr2 = π(R2— d2). Та же секущая плоскость даст в сечении с телом, оставшимся от цилиндра, круговое кольцо (оно на чертеже покрыто штрихами), у которого радиус внешнего круга равен R, а внутреннего d (прямоугольный треугольник, образованный этим радиусом и отрезком ат, равнобедренный, так как каждый рстрый угол его равен 45°). Значит, площадь этого кольца равна πR2 — πd2 = π(R2— d2). Мы видим, таким образом, что секущая плоскость, параллельная плоскости Н, даёт в сечении с шаром и телом, оставшимся от цилиндра, фигуры одинаковой площади, следовательно, согласно принципу Кавальери объёмы этих тел равны. Но объём тела, оставшегося от цилиндра, равен объёму цилиндра без удвоенного объёма конуса, т. е. он равен: πR2 • 2R —2 • 1/3πR2 • R = 2πR3 — 2/3πR3 = 4/3πR3, значит, это и будет объём шара. 148. Определения. 1) Часть шара (АСС', черт. 154), отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью (СС'), называется шаровым сегментом. Круг сечения называется основанием сегмента, а отрезок Ат радиуса, перпендикулярного к основанию, — высотой сегмента. 2) Часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями (СС' и DD'), называется шаровым слоем. Круги параллельных сечений называются основаниями слоя, а расстояние тп между ними—его высотой. Оба эти тела можно рассматривать как происходящие от вращения вокруг диаметра АВ части круга АтС или части СтпD. 149. Теорема. Объём шарового сегмента равен объёму цилиндра, у которого радиус основания есть высота сегмента, а высота равна радиусу шара, уменьшенному на треть высоты сегмента, т. е. V = πH2( R — 1/3H) где H есть высота сегмента, а R — радиус шара. Объём шарового сегмента, получаемого вращением вокруг диаметра АD (черт. 155) части круга АСВ, найдётся, если из объёма шарового сектора, получаемого вращением кругового сектора АОВ, вычтем объём конуса, получаемого вращением /\  СОB. Первый из них равен   2/3πR2H,   а второй 1/3πCB2. Так как СВ есть средняя пропорциональная между АС и СD, то СВ2 = H(2R—H), поэтому СВ2•СО = H(2R—H)(R—H) = 2R2H — RН2 — 2RН2+ Н3  = 2R2H —3Н2R+ Н3; следовательно, объём АВВ1 = объёму ОВАВ1 — объём ОВВ1 = 2/3πR2H — 1/3πCB2•СО =   = 2/3πR2H  — 2/3πR2H  + πRH2— 1/3πH3 = πH2( R — 1/3H) .

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ КРУГЛЫЕ ТЕЛА II ШАР УПРАЖНЕНИЯ 1. Объём цилиндра, у которого высота вдвое более диаметра основания, равен 1м3. Вычислить его высоту. 2. Вычислить боковую поверхность и объём усечённого конуса, у которого радиусы оснований равны 27 см и 18 см, а образующая равна 21 см. 3. На каком расстоянии от центра шара, радиус которого равен 2,425 м, следует провести секущую плоскость, чтобы отношение поверхности меньшего сегмента к боковой поверхности конуса, имеющего общее с сегментом основание, а вершину в центре шара, равнялось 7 : 4? 4. Найти объём тела, происходящего от вращения правильного шестиугольника со стороной а вокруг одной из его сторон. 5. Вычислить радиус шара, описанного около куба, ребро которого равно 1 м. 6. Вычислить объём тела, происходящего от вращения правильного треугольника со стороной а вокруг оси, проходящей через его вершину и параллельной противоположной стороне. 7. Дан равносторонний /\  ABC со стороной а; на АС строят квадрат BCDE, располагая его в противоположную сторону от треугольника. Вычислить объём тела, происходящего от вращения пятиугольника ABEDC вокруг стороны АВ. 8. Дан квадрат ABCD со стороной а. Через вершину А проводят прямую АМ, перпендикулярную к диагонали АС, и вращают квадрат вокруг АМ. Вычислить поверхность, образуемую контуром квадрата, и объём, образуемый площадью квадрата. 9. Дан правильный шестиугольник ABCDEF со стороной а. Через вершину А проводят прямую АМ, перпендикулярную к радиусу ОА, и вращают шестиугольник вокруг АМ. Вычислить поверхность, образуемую контуром, и объём, образуемый площадью правильного шестиугольника. 10. В шаре, радиус которого равен 2, просверлено цилиндрическое отверстие вдоль его диаметра. Вычислить объём оставшейся части, если радиус цилиндрического отверстия равен 1. 11. Вычислить объём шара, который, будучи вложен в коническую воронку с радиусом основания r = 5 см и с образующей l =13 см, касается основания воронки. 12. Около круга радиуса r  описан равносторонний треугольник. Найти отношение объёмов тел, которые производятся вращением круга и площади треугольника вокруг высоты треугольника. 13. В цилиндрический сосуд, у которого диаметр основания равен 6 см, а высота 36 см, налита вода до половины высоты сосуда. На сколько поднимется уровень воды в сосуде, если в него погрузить шар диаметром 5 см? 14. Железный пустой шар, внешний радиус которого равен 0,154 м, плавает в воде, погружаясь в неё наполовину. Вычислить толщину оболочки этого шара, зная, что удельный вес железа равен 7,7. 15. Диаметр Марса составляет половину земного. Во сколько раз поверхность и объём Марса меньше, чем соответственные величины для Земли? 16. Диаметр Юпитера в 11 раз больше земного. Во сколько раз Юпитер превышает Марс по поверхности и объёму?