Исторический
обзор: математика народа Майя
Эрнандо Кортес, вдохновленный историями о недавно
открытых Колумбом землях, отплыл из Испании в 1505 году и высадился на
Эспаньоле, в настоящее время это Санто-Доминго. После нескольких лет занятий
земледелием на Эспаньоле в 1511 году он отплыл с Веласкесом, намереваясь
захватить Кубу. Был дважды избран главой Сантьяго, затем 18 февраля 1519 года
он отправился в морской поход к побережью Юкатана на 11 судах, с 508 солдатами,
100 моряками и 16 лошадями. Он пристал к Табаско на северном берегу Юкатанского
полуострова. Он почти не столкнулся с сопротивлением со стороны местного населения,
напротив, они одарили его подарками, в том числе двадцатью девушками. На одной
из них, Малиналь, он женился.
Население Юкатанского полуострова было потомками
древней цивилизации Майя, которая пришла в упадок около 900 года нашей эры. Эта
статья связана с математическими достижениями именно этой цивилизации. Однако
перед тем как их описывать, хотелось бы обратить внимание на то, что Кортес
продолжил покорение Ацтекского народа в Мексике. Он захватил Теночтитлан в
конце 1519 года (город был отстроен заново в 1521 году уже как Мехико), и
Ацтекская империя покорилась Кортесу в конце 1521 года. Малиналь, состоявшая
переводчицей при Кортесе, играла важную роль в его завоеваниях.
Чтобы понять, как знания народа Майя дошли до нас,
мы должны познакомиться с другим испанским героем этой истории, а именно Диего
де Ланда. Он вступил во Францисканский орден в 1541 году в возрасте 17 лет и
добился того, чтобы его оправили в Новый Свет в качестве миссионера. Ланда
помогал народу Майя на Юкатанском полуострове и в целом сделал все от него
зависящее, чтобы защитить его от новых испанских владык. Он посещал развалины
величественных городов цивилизации Майя и разузнавал у людей об их обычаях и
истории.
Однако, несмотря на симпатию людей народа Майя,
Ланда питал отвращение к их религиозным обрядам. Христианину Ланда религия майя
с ее идолами и текстами, написанными иероглифами, казалась деянием дьявола. Он
приказал уничтожить все идолы Майя и сжечь все их книги. Казалось, что Ланда
был удивлен тем, какие душевные страдания это принесло майя.
Возможно Ланда сожалел о своих поступках или, может
быть, он пытался их оправдать. Но определенно то, что он затем делал, имело
целью написание книги «Сообщение о делах в Юкатане» (1566), которая давала
описание иероглифов, обычаев, храмов, религиозных обрядов и истории Майя, для
искоренения которых им самим было сделано так много. Книга была утеряна на
многие годы, но затем обнаружена в Мадриде спустя три столетия в 1869 году.
После уничтожения Ланда осталось очень мало
документов Майя. Наиболее важные из
них: Дрезденский кодекс сейчас хранится в Саксонской Национальной Библиотеке в
Дрездене; Мадридский кодекс в Американском Музее в Мадриде; Парижский кодекс
сейчас находится в Национальной Библиотеке в Париже. Дрезденский кодекс - это трактат
по астрономии, который, полагают, был скопирован в одиннадцатом столетии нашей
эры с оригинала, который датируется седьмым или восьмым веками нашей эры.
Знания о цивилизации Майя значительно возросли в
последние тридцать лет (см. например, [3] и [8]). Современные методики, такие
как радиолокационные образы высокого разрешения, фотографии с воздуха и
изображения со спутника, изменили представления о цивилизации Майя. Мы
интересуемся классическим периодом цивилизации Майя, который охватывает
промежуток с 250 по 900 года нашей эры, но этот классический период пришелся на
пик цивилизации, которая существовала с приблизительно 2000 года до нашей эры.
Майя
классического периода строили большие города, на Юкатанском полуострове
различали около пятнадцати, согласно недавним оценкам населения города Тикаль,
в Южной Низине находилось около 50000 жителей в момент пика. Вероятно, Тикаль -
самый большой город, и недавние исследования идентифицировали около 3000
отдельных конструкций, включающих храмы, дворцы, усыпальницы, деревянные и
тростниковые дома, террасы, насыпные дороги, площади и огромные резервуары для
хранения дождевой воды. Правителями были жрецы, которые жили в городах и
управляли людьми посредством религиозных наставлений. Земледелие с
усовершенствованным возделыванием полей и ирригационными системами обеспечивало
население едой.
Общепринятые культура, летоисчисление и мифология
сплачивали цивилизацию, а астрономия играла важную роль в религии, которая
являлась опорой для людей на протяжении всей жизни. Конечно, для
астрономических и календарных вычислений требовалась математика, и на самом
деле Майя построили весьма замысловатую числовую систему. Мы не знаем точную
дату этих математических достижений, но кажется очевидным, что когда эта
система была изобретена, она обладала более продвинутыми возможностями, чем
любые другие в мире в то время.
Система исчисления Майя была двадцатеричной. Здесь
представлены числа Майя.
Весьма вероятно, что причина для выбора в качестве
основания двадцать возникла от древних людей, которые для счета использовали
все пальцы, как на руках, так и на ногах. Хотя основанием системы, названной
двадцатеричной, является число двадцать, можно заметить, что пять играет
главную роль, очевидно имея отношение опять же к пяти пальцам на руках или
ногах. В действительности стоит заметить, что хотя система и имеет основание
двадцать, но в ней содержится только лишь три символа для обозначения чисел
(возможно, единичный символ, возникший по ассоциации с галькой, и символ линии,
возникший по ассоциации с палкой,– использовались для счета). Часто люди
говорят о том, что невозможно было бы иметь систему счисления с большим
основанием, поскольку это привело бы к необходимости запоминания слишком
большого числа специальных символов. Это показывает, насколько люди поставлены
в определенную зависимость от системы, которую они используют, и могут
воспринимать только те варианты системы счисления, которые тесно связаны с
привычной для них системой. Удивительной и передовой отличительной особенностью
системы счисления Майя является наличие нуля, обозначающегося ракушкой по
причинам, которые мы не можем объяснить, а также позиционный принцип системы.
Однако система не являлась позиционной в традиционном смысле, что мы сейчас и
объясним.
В истинной двадцатеричной системе первое число
обозначало бы число единиц до девятнадцати, следующее обозначало бы число
двадцаток до девятнадцати, следующее – число четырехсоток до девятнадцати и так
далее. Однако, хотя система счисления Майя начинается аналогично с единицами до
девятнадцати, с двадцатками до девятнадцати, но третья позиция в ней изменяется
и обозначает число трехсотшестидесяток до девятнадцати вместо числа
четырехсоток.
Система
счисления, которую мы только что описали, используется в Дрезденском Кодексе и
является единственной системой, для которой у нас имеется письменное
доказательство. В [4] Ифра приводит доводы в пользу того, что системы
счисления, которую мы только что ввели, была системой счисления жрецов и
астрономов народа Майя, которую они использовали для астрономических и
календарных расчетов. Несомненно, именно так это и было, а то, что система
счисления использовалась именно в таком виде, объясняет некоторые
нерегулярности в системе, как будет видно далее. Эта система использовалась для
календарей. Однако Ифра также приводит доводы в пользу второй истинной
двадцатеричной системы, которая могла использоваться купцами и могла быть
системой счисления, использовавшейся в разговорной речи. Он заявляет, что в
этой системе был круг или точка (похожий, согласно некоторым высказываниям, на
широко-распространенный боб какао или, как считают другие, на гальку,
использовавшуюся при счете) в качестве ее единицы, горизонтальная линия для
пяти и специальные символы для 20, 400, 8000 и так далее. Ифра пишет [4]: Хотя не
осталось никаких отпечатков этого, мы можем уверенно заявить, что у народа Майя
была система счисления подобного типа и что промежуточные числа были строились
с помощью повторения символов необходимое число раз. Давайте немного поговорим о календаре Майя перед
тем, как возвращаться к системам счисления, поскольку именно в календаре
кроется причина такой структуры системы счисления. Конечно, влияние было
оказано и в обратную сторону: основа двадцать системы счисления играет главную
роль в структуре календаря. У народа Майя было два календаря. Один из них это
ритуальный календарь, известный как Tzolkin (Цолькин), состоял из
двухсот шестидесяти дней. Он включал в себя тринадцать «месяцев» по двадцать
дней каждый, месяцы были названы в честь тринадцати богов, в то время как
двадцать дней были пронумерованы с нулевого дня по 19-й. Второй календарь был
365-дневный гражданский календарь, названный Haab
(Хааб). Этот
календарь состоял из 18 месяцев, названных в честь сельскохозяйственных или
религиозных событий, каждый по двадцать дней (опять же пронумерованных с 0 по
19) и короткий «месяц» из пяти дней, который назывался Wayeb, безымянный. Этот месяц
считался несчастливым периодом, и Ланда написал в своем классическом тексте,
что Майя не мылись, не расчесывали волосы и не делали никакую тяжелую работу во
время этих пяти дней. Любой, родившийся в эти дни, был неудачником и оставался
нищим и несчастливым всю свою жизнь. Почему тогда ритуальный календарь основывался на 260
днях? Это вопрос, на который у нас нет удовлетворительного ответа. Одно из
предположений состоит в том, что поскольку Майя жили в тропиках, солнце было
прямо над головой дважды в год. Возможно, они измеряли 260-ю и 105-ю днями
последующие периоды между датами, когда солнце было прямо над головой (тот
факт, что это именно так для Юкатанского полуострова, не может быть принят в качестве
доказательства этой теории). Второе предположение состоит в том, что у народа
Майя было 13 богов из «высшего мира», а двадцать было число людей, тогда если
дать каждому богу по двадцать дней месяца, то получим ритуальный календарь из
260 дней. Во всяком случае, то, что имелось два календаря,
один с 260 днями и другой с 365 днями, означало, что оба календаря попадали в
один цикл по прошествии (260,365)=18980 дней. Это равно 52 гражданских лет (или
73 ритуальных лет), но ведь и на самом деле у народа Майя имелся священный
цикл, состоящий из 52 лет. Другим важным участником календаря была планета
Венера. Астрономы Майя вычислили ее синусоидальный период (после которого она
возвращается на то же место), он равен 584 дням. Тогда после всего двух 52-летних
циклов, Венера сделает 65 оборотов и снова вернется на ту же позицию. Это
замечательное совпадение могло бы означать, что Майя проводили великие
празднования каждые 104 года. Теперь, существовал третий способ, согласно которому
Майя измеряли время, не являющийся в строгом смысле календарем. Это была
абсолютная временная шкала, основанная на дате создания цивилизации, и время
отсчитывалось вперед от этой даты. Какая дата была датой основания цивилизации
Майя? Наиболее часто упоминаемая дата -12 августа 3113 до нашей эры, но мы
должны прямо сказать, что не все историки согласны с тем, что это был ноль так
называемого «Длинного счета». Можно ожидать, что такое измерение времени могло
бы дать либо некоторое число лет со времени создания по ритуальному календарю,
либо некоторое число лет со времени создания по гражданскому календарю. Однако
оно ничего такого не дает. В основе Длинного Счета лежит год, состоящий из 360
дней, или вероятно более точно будет сказать, что это только лишь отсчет дней
числами, представленными в системе счисления Майя. Теперь мы рассмотрим
возможную причину отклонения системы счисления Майя от истинной двадцатеричной
системы. Она была именно такой, чтобы система приблизительно представляла года.
В городах Майя находится множество надписей, дающих дату основания при помощи
этого длинного счета. Рассмотрим два примера чисел Майя, представленные выше.