Ф. Н. Дэвид
Dicing and Gaming
(A Note on the History of Probability)
F. N. David
Перевод: Ялдыгина Н.
«Посмотри,
это что-то новое? Нет, оно существовало еще в прежние времена» (Экклезиаст, гл.
10)
1. Один археолог недавно цинично заметил, что
симптомами упадка цивилизации является то, что люди начинают интересоваться
собственной историей. Он добавил, что хотя вряд ли можно найти доказательство
упадка на нынешней стадии развития Homo Sapiens,
подтверждением ему может служить нынешний интересе к археологии. Большинство
подобных радикальных обобщений неубедительны, в основном из-за того, что на их
основе невозможно что-либо доказать. Тем не менее сегодняшний интерес ученых, и
в частности ученых-статистиков, к происхождению научной мысли, вовсе не
свидетельствует об упадке в науке, вне зависимости от того, что означает
интерес к возникновению ремесел.
Заманчиво, но в то же время бесполезно размышлять на
тему того, почему в современной науке присутствует такой интерес. Вопрос о том,
кому принадлежит первенство в изобретении, сильно занимавший ученых
викторианской эпохи, практически не вызывает сегодня никаких разногласий. Это
связано с тем, что современные ученые придерживаются того мнения, что
неправдоподобно приписывать какое-либо открытие в науке одному человеку. Так,
хотя нас учили в школе, что, например, Ньютон и Лейбниц независимо, поодиночке
«открыли» дифференциальное исчисление, возможно, более уместно говорить о том,
что Ньютон и Лейбниц добавили последнее звено в цепи рассуждений, приводящих к
возникновению дифференциального исчисления – цепи, происходящей от Пьера Ферма,
Барроу, Торричелли и Галилея. И было бы удивительно, если бы только два
математика изобрели дифференциальное исчисление.
Математика в существенной степени является
выражением мысли наших предшественников, на основе которого мы восстанавливаем
их усилия разума, и теория вероятностей не является исключением из этого
правила. Значительная трудность, с которой мы сталкиваемся при попытке
проследить теорию вероятностей до ее истоков, заключается в том, что она
начиналась как эмпирическая наука и только позднее развивалась как раздел
математики. Трудно сказать, в какое время произошел переход от эмпиризма к
математическому формализму, поскольку это, должно быть, происходило на
протяжении нескольких сотен лет. И утверждение о том, что основателями теории
вероятностей стали Паскаль и Ферма, не является в достаточной степени
обоснованным.
2. Мы никогда не сможем точно ответить на вопрос, когда человек впервые начал играть в азартные игры. Отметим, что большинство археологов, проводивших раскопки на доисторических местах, обнаруживали преобладание таранных костей[1] среди костей животных. Один археолог заявил, что таранных костей он обнаружил в семь раз больше, чем любых других костей, другой называл число 500(!), в то время как третий, не желая иметь дело с числами, просто говорил, что таранных костей было много. Этот факт, наверное, не имеет особого значения. В таранных костях мало костного мозга, и, возможно, не стоило ломать их ради содержимого, как делали с длинными костями; она покрыты бугорками и не имеют плоских поверхностей, на которых можно было бы рисовать, как, например, на лопатке. Все, что мы можем сделать – это зафиксировать, что около 40000 лет повсюду лежало большое число таранных костей барана, козла и оленя.
Таранные кости копытных животных отличаются от
костей человека, собаки или кошки. Из Рис.
1 можно понять, какую форму имеет таранная кость собаки
с одной из сторон, чтобы была обеспечена поддержка костей лапы. Таранная кость
копытного животного практически симметрична относительно продольной оси, и с
ней приятно играть. Во Франции и Греции дети до сих пор играют с ними на
улицах, и можно купить кусочки металла, напоминающие таранные кости, хотя и
имеющие более совершенную форму.
Рис. 1. Изображение таранных костей овцы и собаки,
истинный размер
3. В определенный период времени между
доисторическим человеком четыреста столетий назад и началом третьего
тысячелетия до Рождества Христова Homo sapiens изобрел игры и, в том
числе, азартные игры. Мы знаем из живописи, терракотовых изделий и др., что
таранные кости использовались в Греции как древние метательные кольца[2].
Однако изображения на гробницах в Египте и материалы раскопок не оставляют сомнений в том, что таранные кости начали
использоваться в играх для движения фишек, во времена Первой Династии. На одном
изображении аристократ, показанный играющим во время загробной жизни, аккуратно
держит таранную кость на кончике пальца и доску с «игроками» перед собой.
Типичной игрой около 1800 г. до н. э. являлась «Гончие и шакалы», иллюстрация к
которой приведена на Рис.
2.
Рис. 2. Игра «Гончие и шакалы»
Игра, по-видимому, была похожа на нынешнюю игру
«Змеи и лестницы»; гончие и шакалы двигались по некоторому правилу после
бросания таранных костей, найденных вместе с игрой и изображенных на рисунке.
Разновидности этой игры, вне всякого сомнения, использовались со времен Первой
Династии (около 3500 г. до н. э.).
Возможно, но не бесспорно, что эти игры возникли в
Египте. Они точно не могли возникнуть в Греции по причинам, которые мы приведем
ниже. Тем не менее, первый греческий историк Геродот, как и его нынешние
соотечественники-историки, хотели верить, что практически все было изобретено
греками (либо их союзниками). Утверждение Геродота о том, что лидийцы ввели
чеканку монет, имеет под собой такое же основание, как и утверждение
относительно азартных игр. Он написал (ок. 500 г. до н. э.) о голоде в
Лидии (случившемся в 1500 г. до н. э.) следующее:
У лидийцев были обычаи, похожие на обычаи греков.
Это была первая нация, начавшая использовать золотые и серебряные монеты и продавать
товары в розницу. Им также принадлежит изобретение всех игр, общих для них с
греками. Они утверждают, что изобрели эти игры во время колонизации Тирренеев.
Приводилось следующее описание этого события. В дни Атиса, сына Мане, возник
большой недостаток продуктов по всей земле Лидии. Некоторое время лидийцы
терпеливо переносили бедствия, но, обнаружив, что бедствия не прекращаются,
взялись за поиск мер против бедствий. Различными людьми изобретались различные
средства; были придуманы игральная кость и таранная кость, шары и подобные
игры, за исключением таблиц[3], изобретение которых они
себе не приписывают. Придуманный план борьбы с голодом заключался в том, чтобы
увлечься играми настолько, что в один из дней не чувствовать потребность в
пище, а на следующий день есть и воздерживаться от игры. Так они провели
восемнадцать лет.
Согласно другим комментариям, азартные игры были изобретены во время Троянской войны Паламедом. Во время десятилетней осады Трои было изобретено множество игр, чтобы солдаты не страдали от скуки.
4. Игра в шары упоминалась Гомером и, согласно Платону, была развита в Египте. Мы вернемся к истории игральных костей, но для начала продолжим историю таранных костей. Похоже, в начале первого тысячелетия таранные кости использовались для игр в свободное время и детьми, и взрослыми. Гомер (900 г. до н. э.) сообщает, что, когда Патрокл был маленьким мальчиком, он так разозлился на соперника во время игры в бабки, что убил его. Другой писатель того же периода рассказывает, что студенты играли в бабки повсюду, что их дарили как подарки, а один студент в качестве вознаграждения за написанный текст получил сразу восемьдесят таранных костей! Не трудно вообразить, что маленькие мальчики той эпохи коллекционировали таранные кости так же, как и твердые шарики, что делают и многие мальчики нашего времени.
Таранные кости использовались повсеместно греками и
позднее римлянами в играх, требующих терпения и энтузиазма – литературные
источники того времени не оставляют в этом сомнения. Одна из самых распространенных
и в то же время самая простая игра заключалась в том, что одновременно бросали
четыре таранные кости и определяли, какая из сторон выпала больше всего раз. У
таранных костей было только четыре стороны, на которых они могли покоиться.
Было установлено (в том числе Леонико Никколо Томео, 1456-1531), что таранные
кости в основном нумеровались следующим образом: верхняя сторона, широкая и
немного выпуклая, считалась как 4, нижняя сторона, широкая и вогнутая – как 3,
узкая и ровная боковая сторона – как 2, а еще одна немного вогнутая боковая
сторона – как 6. На Рис.
3 изображены стороны таранной кости барана. (У
использующихся в наше время таранных костей вероятности выпадения 1 и 6 равны
примерно 1/10, а вероятности выпадения 3 и 4 – примерно 4/10.) Бросок,
считавшийся самым плохим, греки называли собакой или иногда грифом. Самый
хороший бросок четырех игральных костей назывался броском Венеры и заключался в
выпадении четырех различных сторон. Вероятность такого броска равна 1/26.
Однако в различные времена и в различных играх приписываемые сторонам кости
числа должны были отличаться. Например, обсуждаемый некоторыми писателями
пятнадцатого века бросок четырех таранных костей, называемый броском Еврипида,
оценивался как 40. Каким образом выпадение костей давало такой результат –
неизвестно, хотя в произведении Кардана шестнадцатого века говорилось, что это
было четыре четверки. (Вероятность около 1/39.)
Рис. 3
5. В классическом Риме таранные кости были
воспроизведены в резном камне с фигурами и сценами, выгравированными на
сторонах. Типичный пример изображен на Рис.
3 b. Каменные таранные кости
были также обнаружены в Египте. В это время также производились
разнообразные фигуры из металла или кости, различающиеся в
размере от 1 см до более чем 1 дюйма в высоту. Можно сделать вывод о том, что
эти фигуры использовались для игр, поскольку каждое из шести возможных
положений фигуры при падении отмечено определенным числом точек[4].
Возможно, помимо таранных костей азартной игрой
являлось также и бросание палочек, хотя можно предположить и что это имело
скорее религиозное значение; мы вернемся к данному вопросу позднее. Палочки для
бросания были сделаны из древесины или слоновой кости и часто были
приблизительно 3 дюйма в длину и имели в сечении квадрат со стороной около 1
сантиметра. Такие палочки были известны древним британцам, грекам, римлянам,
египтянам и индейцам майя американского континента. Иногда поперечное сечение
палочек имело форму эллипса с главной осью около 1 сантиметра. Однако на всех
палочках было только 4 числа, по одному на каждой стороне передней поверхности
и соответствующей нижней поверхности. В Европе числа на палочках для бросания в
основном обозначались маленькими выгравированными кругами, но иногда они были
отмечены углублениями в дереве или слоновой кости. Палочки для бросания у майя
были помечены цветными метками на слоновой кости. Отмечаемые числа различались.
В основном это были 1, 2, 5, 6, но также были найдены 3 и 4. Палочки для
бросания играли небольшую роль в азартных играх. О них упоминается только
потому, что интересно оценить возможность одновременного возникновения азартных
игр в различных местах. Хотя данное предположение трудно обосновать, можно
предположить, что азартные игры возникли в результате деградации религиозных
обрядов.
6. Шестигранную игральную кость можно получить из таранной кости, если обтачивать ее до тех пор, пока она не примет форму, напоминающую куб. В Музее Лувра хранится несколько обработанных таким образом таранных костей, однако вряд ли получилась нормальная игральная кость. В нескольких местах видна сотовидная (или сетчатая) костная ткань, и, конечно, необработанная игральная кость не могла долгое время использоваться. Появилась ли игральная кость так или иначе, но эволюция, должно быть, произошла значительно ранее Рождества Христова. Первая известная нам игральная кость была найдена при раскопках в северном Ираке и датируется началом третьего тысячелетия. Ее описывают как обожженное керамическое изделие темно-желтого цвета. Точки были расположены так, как показано на Рис. 4 (i): необходимо представить, что края A и B отогнуты от читателя. Заметим, что точки на противоположных сторонах последовательны: 2 напротив 3, 4 напротив 5 и 6 напротив 1.
Найденная в Моенджо Даро (древняя Индия) игральная
кость также датируется третьим тысячелетием и также представляет собой твердое
керамическое изделие. Точки снова расположены последовательно, однако на этот
раз 1 находится напротив 2, 3 напротив 4, 5 напротив 6. К этому тысячелетию
относятся и некоторые другие игральные кости. Во времена XVIII-ой
династии в Египте (ок. 1400 г. до н. э.) в играх, по-видимому, использовалась
игральная кость, пронумерованная как показано на Рис. 4 (ii). Расположение пяти точек
необычно. Однако примерно в то же время было принято знакомое нам разбиение
чисел по парам с суммой 7, одно число располагается напротив другого (см. Рис. 4 (vi)). Такое расположение
сохранилось до наших дней. Исходя из
собранных современными писателями записями, из 50 игральных костей
классического периода, сделанных из горного хрусталя, слоновой кости,
песчаника, крепкой породы, древесины и других материалов, сорок использует
расположение по парам с суммой 7. Греческий епископ двенадцатого столетия (н.
э.) написал, что игральные кости должны нумероваться именно таким способом. Один
игрок шестнадцатого века предположил, что такой способ расположения чисел
использовался из-за легкости проверки того, все ли числа отмечены на игральной
кости и не повторяются ли одни числа за счет пропуска других. На одной
игральной кости первого тысячелетия 9 было изображено напротив 6, 5 напротив 3
и 4 напротив 2. Возможно, это было сделано специально для какой-то игры либо
имело какое-то религиозное значение. Возможно, то же самое можно сказать и об
игральной кости, пронумерованной так, как показано на Рис. 4 (iii), хотя более вероятно, что
эта кость использовалась для мошенничества.
7. То, что игральные кости использовались в Египте, известно из-за наличия кости XVIII-й династии. Однако полагают, что игры в кости не были повсеместными до появления династии Птолемеев (с 300 до 30 гг. до н. э.), происходившей из Греции. Известно несколько игральных костей того периода, включая красивые образцы из твердого коричневого известняка со стороной около 1 дюйма, на шести сторонах которых изображены божественные фигуры Осириса, Гора, Изиды, Небхи, Хатхора и Хорхуда. Почти несомненно, что эти игральные кости использовалось для ритуалов предсказателей.
Рис. 4
Игральные кости в Англии в начале христианской эры
были примитивны. Чтобы их сделать,
длинная кость животного обтачивалась таким образом, чтобы придать ей в
сечении форму квадрата, и затем она разрезалась на части, напоминающие по форме
кубики. Костный мозг вынимался и оставлялся пустой квадратный цилиндр,
поперечное сечение которого схематично изображено на Рис. 4 (iv). (В Британском музее есть
два таких кубика.) У этих примитивных игральных костей 7 было разбито на сумму
двух чисел, 3 напротив 4 на полых концах кости. У некоторых игральных костей на
каждом конце было 3 и не было 4. Некоторые подобные игральные кости были
найдены в залежах мела и кремния и датируются первым тысячелетием.
Развитие греческими математиками геометрии твердых
тел привело к тому, что немедленно последовало изобретение многогранной
игральной кости. Наиболее известная из них представляет собой красивый икосаэдр
из горного хрусталя, находящийся сейчас в музее Лувр. (На Рис. 4 (v) необходимо представить,
что чертеж отогнут от читателя.) Фигуру с 19 гранями вырезать трудно, но можно
вообразить в виде прямоугольника с римскими цифрами на каждой из граней от I до X, и
далее десятками до C. Число LXXX пропущено, зато число XX
присутствует на двух гранях. Существовала также игральная кость с 18 гранями,
получившаяся, возможно, обтачиванием кубической игральной кости, кость с 14
гранями и т. д.
Небезызвестны также и фальшивые игральные кости. Не
говоря уже о том, что на игральных костях пропускались одни числа и несколько
раз повторялись другие, утверждается, что была найдена полая игральная кость
времен Рима. Единица на грани игральной кости образует маленькую круглую
пластинку, которую можно убрать. Предполагают, что через это отверстие можно было
вставить в полость игральной кости маленький кожаный шарик так, чтобы заставить
кость при падении давать заранее определенные результаты.
8. Азартные игры стали столь популярны при римлянах, что пришлось обнародовать закон, запрещающий играть в них, исключая определенные периоды времени. Неизвестно, в во что играл простой народ, однако имеется много упоминаний про игры императоров. В Жизни Августа Светония (перевод Лоба) мы находим:
Он (Август) не избежал репутации игрока, поскольку играл для развлечения открыто и публично, даже в старости, не только в декабре, но и в другие праздники и в будни. В этом нет сомнений, поскольку в написанном почерком Августа письме сообщается: «Дорогой Тиберий, я обедаю в той же компании;… Мы играли в азартные игры как старики во время еды и вчера, и сегодня, поскольку каждый, у кого выпадала ‘собака’ или 6, клал динарий в общий фонд за каждую из костей, и все это забирал тот, у кого выпадала ‘Венера’.
Есть и другие упоминания об азартных играх в Жизни. Спорным вопросом является то, нужно ли переводить слово talis как игральные кости или как таранные кости. Как мы знаем, на игральную кость часто ссылаются как на ‘tessera’. Таранную кость часто называют talus (или пяточная кость), и это слово Сьютон действительно использовал. Из описания игры похоже, что вместо игральной кости можно читать таранная кость.
В Жизни
Клавдия Светония рассказывается про то, что Клавдий был так увлечен игрой в
кости, что написал об этом книгу, и что он привык играть во время поездок,
кидая кость на специально приделанную в его повозке доску.
9. Эти два пример приведены для иллюстрации страстного увлечения азартными играми, несомненно владевшего римлянами, и можно привести много других примеров. Вопрос, возникающий у каждого, кто изучает азартные игры прошлого – это «Почему никто не заметил свойство равной вероятности исходов бросания игральной кости?» Понятно, что не было построено никакой теории для описания бросания таранных костей. Однако греки прибегли к необходимой абстракции и придумали математическую модель куба (и других твердых тел). На первый взгляд кажется любопытным то, что математики не пошли дальше и не приписали равные веса каждой грани куба и т. д. Поскольку игрой в кости и азартные игры было занято так много людей и столь продолжительное время, что стало необходимым запретить их, наверняка кто-то должен был заметить, что у кубика любая грань в среднем выпадает так же часто, как и все остальные? Мы можем только строить догадки на эту тему, но автору кажется, что есть два возможных объяснения: дефектность игральной кости либо использование костей в религиозных обрядах.
10. Дефектная игральная кость. В наши дни мы говорим о правильной, или настоящей, игральной кости, имея в виду, что нет явных смещений в результатах бросания кости. Во времена Рима, а возможно и раньше, правильная игральная кость была скорее исключением, чем правилом. Автор пробовал бросать много игральных костей классического периода, и практически у всех были смещения в результатах, хотя и различного типа. Например, при 204 бросаниях трех классических игральных костей из Британского музея были получены представленные в таблице результаты. Расположение точек на игральной кости было такое же, как показано на Рис. 4 (vi), (vii) и (viii). Красива игральная кость, сделанная из горного хрусталя; другие немного примитивны, и грани железной игральной кости являются параллельными только приблизительно.
|
Число
точек… |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Rock
crystal |
30 |
38 |
31 |
34 |
34 |
37 |
|
Iron |
35 |
39 |
30 |
21 |
37 |
42 |
|
Marble |
27 |
28 |
23 |
47 |
25 |
54 |
Мраморные и железные игральные кости явно имеют смещения, и это относится ко многим другим исследованным костям. На Рис. 3 (c) приведена фотография деревянной игральной кости. Можно заметить, что одна из граней не является квадратом, и похоже, что владелец взял кусочек дерева подходящей формы, немного сгладил его и выгравировал точки. В связи с этим в течение длительного периода времени трудно было заметить какую-либо закономерность в результатах бросания кости.
11. Предсказания. Вместо дефектности игральной кости можно построить некоторые теории, не затрагивающие магию и религию. Фундаментальная схема в развитии всех религий заключалась в том, что божеству, к совету которого прибегали, предоставлялась возможность выразить свое желание. В 1737 Джон Уисли решил кинуть жребий, чтобы определить, стоит ли ему жениться (Журнал Джона Уисли, выпуск 1, 1737 г., пятница, 4 марта). В обычаях нынешних диких племен мы видим отголосок классической эры. В то время камни для проникновения в божественные замыслы использовались камни разнообразной формы и цвета, стрелки, таранные кости и игральные кости. В храмах использовались самые разнообразные обряды, связанные с предсказаниями на основе жребия, однако основные принципы предсказаний были одни и те же. Формулировался вопрос, кидался жребий, определялся ответ богов. Игральные кости (таранные кости и т. д.) кидали на землю, а иногда на священный стол.
В классическом Риме и Греции привычным было принято
использовать в храмах четыре таранные кости. Выпадение Венеры (наверху 1, 3, 4,
6) означало благоприятное предсказание, а собаки – неблагоприятное. В храмах
оракулов висели таблицы, и оракул или даже сам проситель трактовали
результаты бросания костей, обращаясь к таблице. Были, однако, зафиксированы
случаи использования пяти таранных костей. Греческие надписи, найденные на
полуострове Малая Азия, содержат полное описание того, как трактовалось
бросание пяти таранных костей. Каждому результату бросания приписывалось имя
бога. Так, сэр Джеймс Фрейзер перевел (примечание Павсания):
1. 3. 3. 4. 4 = 15 Бросок Избавителя Зевса
Одна единица, две тройки, две четверки,
Делай то дело, которое ты обдумываешь, смело.
Направь свои руки на это. Боги посылают
благоприятные знамения.
Не уклоняйся от этого в своем разуме. Поскольку
никакой беды с тобой не произойдет.
Неясно, важен ли порядок чисел. Если порядок чисел не имеет значения, то вероятность такого исхода равна примерно 0,08[5]. В обрядах гадания, помимо таранных костей, использовались также игральные кубики, и возможно, что такая же трактовка давалась выпавшим сверху числам, хотя наличие 2 и 5 вызывает определенные трудности.
В дополнение к обрядам, выполняемым жрецами, видимо,
и простые люди повсеместно делали предсказания событий своих жизней. Так,
Лукиан в истории о молодом человеке, безумно влюбившемся в скульптуру Венеры
работы Праксителя, находящуюся в Книдосе, писал:
Он бросил 4 таранных кости на стол, связывая свои надежды с результатом броска. Если результат хороший, в особенности если получился образ самой богини и нет одинаковых чисел, то он поклонялся богине и сильно надеялся на то, что его терпение будет удовлетворено. Если же результат плохой, как обычно и происходило, и у него выпала несчастливая комбинация чисел, то он насылал проклятия на весь Книдус, и так горевал, как если бы понес личную потерю.
И снова из Проперция:
Когда я искал Венеру (т. е. хорошую судьбу),
пытаясь бросить таранные кости благоприятным образом, всегда выпадали проклятые
собаки.
12. Возможно, интересно привести здесь рассказ об обрядах, которые, как говорят, практикуют сегодня буддисты Тибета. Согласно Хастингсу (Словарь компаративного религиоведения), самый простой из методов применяется самостоятельно обычными людьми. У многих людей имеется карманное руководство по предсказаниям (mô-pe) путем кидания жребия. Для бросания жребия используются либо четные и нечетные числа (случайно взятые зерна, камешки или монеты из рога, чашки и т. д.), или игральные кости на священной доске, или карточки со священными знаками, или листочки с отрывками Священного писания, вытащенные из миски. Предсказания реинкарнации, по словам Уэдделла[6], обычно делают жрецы. Автор видел диаграмму возрождения, состоящую из 56 двухдюймовых квадратов (8x7). Каждый квадрат соотносится с будущим состоянием. Шестигранную игральную кость с написанными буквами бросают на диаграмму возрождения, и жрец делает предсказание в зависимости от квадрата, на который упала кость, и оказавшейся наверху буквы. Уэдделл, посетивший Тибет как член Британской Миссии, получил одну из этих диаграмм и игральную кость (ок. 1893 г.). Он отмечает: «Похоже, при броске игральной кости (!), данной вместе с доской, выпала буква Y, предсказывающая призрачное существование, поэтому требовалось выполнить множество дорогих обрядов, чтобы предотвратить столь нежелательную судьбу». Возможно, подобные интриги практиковались еще во времена Рима! В любом случае, разумно заключить, что таинственность и благоговение, которые религиозные обряды придавал предсказаниям с помощью жребия, мешала думающим людям излишне спекулировать на предсказаниях. Любая попытка предугадать исход броска, несомненно, могла рассматриваться как попытка предсказать божественные действия, а такая непочтительность могла повлечь беду. Вдобавок, как мы отметили, такой метод предугадывания было трудно реализовать из-за несовершенства игральных костей. С другой стороны, возможно и то, что жрецам были известны вероятности исходов, поскольку игральные кости для обрядов были сделаны качественно.
15. В средневековье христианская церковь, похоже, вела подпольную борьбу против азартных игр с таранными и игральными костями. У писателей эпохи Возрождения есть много ссылок на епископов, издававших Об игроках в азартные игры или Против азартных игр в первые четырнадцать столетий христианской эры. Поэтому похоже, что епископы хотели избавиться от гаданий как религиозных обрядов, и они в этом до некоторой степени преуспели, хотя гадания во многом сохраняются до сегодняшних дней в секте «Моравские братья». Что епископы не могли сделать – так это заставить людей прекратить играть в азартные игры. Некоторые упоминания про азартные игры присутствуют в ранней французской литературе. В пьесе Жана Боделя Игра святого Николая, написанной в 1200 г. н. э., есть сцена, в которой воры участвуют в азартной игре в таверне. В эту игру под названием ‘Шанс’[7] играли с помощью игральных костей, а ее правила четко определил Пьером-Раймондом Монтмертом в своей книге примерно спустя 500 лет. (Анализ азартных игр 1708, стр. 113). Пьеса Боделя интересна предположением о том, что воры знали, как манипулировать игральными костями, чтобы получить желаемый результат.
14. С изобретением печати (ок. 1450 г.) и ее быстрого развития во второй половине пятнадцатого века упоминания об азартных играх становятся многочисленнее, однако предположения о вычислении вероятностей, похоже, по-прежнему отсутствуют. Так, в сочинениях Франсуа Рабле – человека, должно быть, знавшего о новейших азартных играх, в которые играли в трактирах – мы находим следующий интересный отрывок. «Затем они изучили изобразительное искусство или резьбу; или ввели в употребление античную игру в таблицы, о которой писал Леонико и в которую играл наш хороший друг Ласкарис[8]» (Гаргантюа и Пантагрюэль, перевод Уркхара, книга I, глава XXIV). Гаргантюа и Пантагрюэль выпускалась по частям через определенные промежутки времени между 1532 и 1552. Поэтому дата упоминания об игре немногим более поздняя, чем 1532 г.
Упоминавшийся Леонико – это Леонико Никколо Томео,
профессор греческого и латинского языка в Падуе, родившийся в Венеции в 1456 г.
Он был известен своей эрудицией и склонностью к философии; он был наставником
английского кардинала Поула, когда, будучи еще молодым человеком, посетил
Италию. Согласно Эразму, он был «человеком, равно уважаемым за чистоту
моральных принципов и глубину эрудиции». Его письма, переведенные кардиналом
Жаске, дают интересную картину жизни интеллектуала того времени. Он умер в
Падуе в 1531 г., и его работы были собраны и напечатаны в Базеле в 1532 г.
Рабле явно ссылается на труд Леонико Sannutus, sive de ludo talario,
диалог в духе Плато, затрагивающий игру в бабки (таранные кости). Однако эта
работа имеет мало отношения к вычислению вероятностей. В дискуссии даются
ссылки на данную игру в римской литературе, приводятся описание и аргументы
назначения ценности различным результатам бросков[9].
Подобного же рода трактат был написан Кальканини
примерно в это же время, но, может быть, немного позже, чем Леонико. Челио
Кальканини родился в Ферраре в 1479 г. и умер там в 1541 г. У него была
репутация поэта, философа и астронома Его труд О том, что небо неподвижно, а Земля
вращается, или о вечном движении Земли, в котором утверждается, что
земля движется вокруг солнца, на несколько лет предвосхитил Галилео Галилея, поскольку
Галилей родился только в 1564 г.. Диссертация Кальканини, озаглавленная Ву talorum, tesserarum ac calculorum ludis ex more veterum, написана в менее
философском тоне по сравнению с работой Леонико. Для специалистов по теории
вероятностей она представляет интерес только с точки зрения влияния на Кардана,
который, как известно из нескольких источников, внимательно ее изучил.
15. Теперь мы добрались до шестнадцатого столетия вместе с известным гуманистом Леонико и крупным астрономом Кальканини, писавших об азартных играх, но не делая попыток вычислить вероятности и не ссылаясь на такие попытки. (Конечно, это не означает, что вычисления не проводились в рукописях, о которых мы не знаем.) Кроме того, были и другие ученые и епископы, писавшие в то же время на ту же тему, так что интерес к этому предмету был весьма значительным. Насколько мы знаем сейчас, шаг вперед был сделан Джероламо Кардано. Кардано, незаконный сын геометра, Фазио Кардано, родился в Павии в 1501 г. Его незаконнорожденность не раз служила ему преградой для профессионального развития, и возможно, что горечь от этого привела к очень щепетильному отношению к использованию идей других ученых. В среде ученых шестнадцатого и семнадцатого веков были распространены обвинения в плагиате, однако ни из-за кого не поднимался такой сильный шум, как из-за Кардано, которого сильно не любили современники и презирали преемники. Примерно до середины девятнадцатого столетия биографы Кардано были едины в том, что писали о нем как о шарлатане; возможно, в наше время маятник качнулся в другую сторону, и многое в его сочинениях принимается на веру, а не оценивается. Истина, по-видимому, лежит где-то между крайностями шарлатана и преследуемого ученого.
Кардано был физиком, философом, инженером,
математиком-теоретиком и математиком-прикладником, астрологом, оригиналом,
обманщиком и игроком, но прежде всего – игроком. Он сам признается, что как-то
продал свою мебель и мебель жены, чтобы получить деньги для игры, и нет
сомнений, что эта страсть была одной из тех вещей, которые управляли им на
протяжении всей его жизни. Его основным профессиональным интересом была
медицина, однако он был также увлечен общением с духами и составлением
гороскопов. В последнем занятии он, кажется, не слишком преуспел, однако он не
удержался от попыток составить гороскоп Иисуса, непочтительность по отношению к
которому, возможно, привела к заключению Кардано под стражу.
Даже если допустить, что биографы преувеличивают,
все же нет сомнений в том, что он был чудаком вплоть до сумасшествия. Несмотря
на это, он все же сделал свой вклад в развитие фундаментальной математики, и
именно благодаря комбинации математика-теоретика и игрока мы получили Книгу о шансе в играх. Эта работа была в
бумагах Кардано после его смерти в Риме в 1576 г. и впервые опубликована в
собрании сочинений в 1663 г. в Лионе. Кардано предполагает, что она была
написана примерно в 1526 г.; точная дата не имеет значения, поскольку вопрос о
первенстве или плагиате не возникает; однако любопытно, что рукопись такого
рода, должно быть, пережила 50 лет его удивительно разнообразной карьеры.
16. Первый полный перевод Книги о шансе в играх на английский был сделан в Кардано, играющий ученый Ойстена Оре и опубликован в 1953 г. Оре отмечает, что книга плохо составлена, и, возможно, это сильно мешает пониманию работ Кардано. Однако есть и те, кто не согласился с этим замечанием и кто понимает, что сейчас Кардано приписывается так много предвидения, как мало приписывалось ранее. Суть работы Кардано сосредоточена в разделе, озаглавленном «О бросании одной игральной кости». В переводе Оре:
У таранной кости четыре грани и поэтому четыре исхода. Но у игральной кости их шесть; в шести бросках каждый исход может возникнуть один раз; но если некоторые из исходов повторятся, то, следовательно, другие не возникнут ни разу. Таранная кость имеет плоские грани, на каждой из которых она может покоиться;… и она не имеет формы игральной кости. Половина всех чисел на гранях всегда имеет равные шансы на появление; так, равны шансы на то, что данный исход появится или не появится в трех бросаниях, поскольку полный цикл равен шести бросаниям; либо опять равны шансы на появление одного из трех исходов при броске. Например, я легко могу бросить один, три или пять как два, четыре или шесть. Поэтому пари заключается в соответствии с этими равенствами, если игральная кость настоящая…
Поэтому мы видим, что произведена необходимая абстракция. Если игральная кость настоящая, т. е. если мы можем приписать равные веса всем граням, то мы можем вычислять шансы. Я думаю, нет сомнений в том, что Кардано пришел к этому заключению эмпирическим путем, и его обобщение частично неверно. Он продолжает изучать бросания двух и трех игральных костей, приводя таблицу, верную, если «игральная кость настоящая». Однако, когда мы рассматриваем раздел «Об игре в бабки», выясняется, что он заблуждается. У таранных костей четыре грани. Различные комбинации чисел, которые могут возникнуть при бросании четырех таранных костей, перечислены корректно, однако шансы подсчитаны в предположении, что выпадение каждой из сторон равновероятно, что неверно. Возможно, Кардано никогда не играл с таранными костями, поскольку иначе он, наверное, заметил бы, что приписывать сторонам кости равные веса при некорректно. Такое некорректное предположение наводит на мысль о том, что Кардано не совсем ясно представлял себе то, о чем говорил.
По моему мнению, тот факт, что Кардано не вполне
ясно представлял себе математическую модель, нисколько не умаляет его заслуги в
том, что он, как мы знаем, впервые подсчитал вероятности, основываясь на
теоретических аргументах. Сделав это, он стал истинным основателем современной
теории вероятностей. Заявления биографов Кардано о том, что он предвосхитил
закон больших чисел и т. д., неверно; поскольку оказывается, что Кардано
основывался скорее на собственном опыте, а не на алгебре.
17. Было бы странно, если бы Кардано, вопреки моде своего века, не передал бы часть своих мыслей об игре в азартные игры ученикам. Боязнь того, что его обвинят в плагиате или что его мысли позаимствуют, могла заставить его хранить молчание; однако в целом его трактат имеет практическую направленность; изрядную часть трактата составляют практические советы относительно игры, распределения шансов и т. д. Поэтому Кардано почти наверняка должен был обсуждать содержание трактата со своими друзьями, в особенности если он размышлял о нем в течение столь долгого времени, как утверждал. Поэтому тот факт, что Книга о шансе в играх не выходила в печать до 1663 г., не является достаточным обоснованием того, что идеи Кардано не получили широкого распространения среди ученых Италии после его смерти. И то, как Галилео Галилей без особых преамбул вступил в дискуссию Кардано об игре с использованием игральных костей, придает этому особую краску.
Галилео Галилей, сын очень известного в то время
музыканта Винченцо Галилея, родился в Пизе в 1564 г. Он умер в 1642 г. в
Арчетри, и ему принадлежит такое количество достижений, как никому другому. Его
вклад в науку как астронома и математика поражает оригинальностью мысли и ясностью
целей. Трудно сказать, почему этот выдающийся ученый так и не смог получить
должного признания. Некоторые современные писатели полагают, что благоразумное
отречение Галилео от идеи движения земли, после того как он был в возрасте 70
лет подвергнут физическим пыткам инквизицией, вызвало антипатию к нему со
стороны ученых того времени. Возможно, это и не так; более вероятным выглядит
то, что завистливые коллеги-ученые, сдавшие Галилео инквизиции, сговорились
после его смерти принизить полученные им результаты. В этом ученым, возможно,
помог литературный стиль Галилея, не отличающийся ни ясностью, ни краткостью, в
действительности многословный и крайне скучный; у него нет ни одной i без
точки, ни одной неперечеркнутой t[10].
Это было бы так, если бы существовали какие-либо
сомнения в общем методе и процедурах, позволяющих вычислить шансы получения
результатов при бросании игральных костей, которые мы должны были бы долго
исследовать. Однако в Sopra le Scorpete de i Dadi[11] Галилео сразу погружается в
доказательства. Проблема[12] уже была затронута Кардано. Бросают три игральные кости. Хотя существует одно и
то же число разложений 9 и 10 на сумму составляющих (три разложения), тем не
менее, на практике вероятность получить 9 меньше, чем вероятность получить 10.
Почему так? Я немного процитирую эти заметки в переводе Е. Г. Торн. Записи
начинаются следующим образом:
Тот факт, что в играх с игральной костью одни числа более выгодны, чем другие, имеет очевидные причины. Т. е. некоторые из чисел более легко и часто выпадают, чем другие, и это зависит от способности чисел быть полученными из возможного большего разнообразия чисел. Так, числа 3 и 18 могут быть получены из трех чисел только одним способом (последнее число – как 6,6,6, предыдущее – как 1,1,1, и никак по-другому). Эти числа сложнее получить, чем, например, 6 или 7, которые можно образовать несколькими различными способами, т. е. 6 – это 1,2,3 и 2,2,2 и 1,1,4, а 7 – это 1,1,5; 1,2,4; 1,3,3; 2,2,3. Снова, хотя 9 и 12 могут быть получены тем же количеством способов, что 10 и 11 и часто считаются одинаково выгодными, тем не менее длительные наблюдения показывают, что игрокам выгоднее выбирать 10 и 11, чем 9 и 12.
Этот отрывок показывает, как Галилей начинает тему, предполагая, что вычисления известны; отрывок также иллюстрирует многословность стиля Галилея. После обсуждения шести разложений 9 и 10 на три составляющих он продолжает:
Поскольку у игральной кости 6 граней и при броске она равно может упасть на любую из граней, можно сделать только 6 различных бросков. Но если одновременно с первой костью мы бросаем вторую, также имеющую 6 граней, то мы можем сделать 36 различных бросков, поскольку каждую грань первой кости можно объединить с любой гранью второй кости…
После упоминания о том, что общее число возможных исходов для трех игральных костей равно 216, он приводит таблицу чисел, определяющих число бросков для выпадения 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, отмечая при этом, что для чисел с 11 по 18 включительно результаты симметричны этим. Таким образом, число возможных бросков для 10 равно 27, а для 9 равно 25. Его решение задачи в точности такое же, какое используется нами сегодня; не остается сомнений, что вычисление вероятности исходя из математической концепции равной вероятности выпадения граней куба была хорошо известна итальянским математикам шестнадцатого столетия. Мы можем подивиться на человека, сформулировавшего Галилею проблему; он явно достаточно много играл в азартные игры, поскольку мог определить разницу в эмпирических вероятностях, равную 1/108[13].
18. Собрание сочинений Галилея впервые было опубликовано в Болонии в 1656 г., однако этот фрагмент об азартных играх был пропущен. Он появился в более полном собрании, опубликованном во Флоренции в 1718 г. С того времени Галилей, однако, полагал, что проблема не представляет особого интереса, поскольку не занимался ею. Не видно причин, по которым Галилей мог делать из решения проблемы тайну и, возможно, он следовал обычаям того времени и обучал этой теме своих учеников. Во всяком случае, очевидно, что математическое множество вероятностей событий не было незнакомым для французских математиков семнадцатого века понятием, как заявляется в известной ныне переписке между Паскалем и Ферма в 1654 г. Первое письмо из этой серии, от Паскаля к Ферма, в которой излагается проблема исходов, утеряно. Однако у нас есть ответ Ферма на письмо и последующие письма[14], и из того, как Ферма отвечал, становится ясным, что он считал определение вероятности известным. Интерес ученых заключался в том, чтобы применении определение к конкретным проблемам, связанным с игрой в кости между двумя игроками равных умений и возможностей. Подход к проблеме напоминает подход Галилео, а обсуждаемые обобщения частных случаев не достаточно обоснованы.
Галилео действительно писал только об одной проблеме
и довольно кратко; тем не менее трудно понять, почему создателями теории
вероятностей считаются не Галилео и не Кардано, а Паскаль и Ферма. Вполне
возможно, что раннее развитие Паскаля как математика привело к тому, что многие
его работы принимались с единодушным одобрением и его первенство не
обсуждалось. Например, известный Арифметический Треугольник мы находим в Арифметике Штифеля (1543 г.), Общем трактате Тартальи, в Арифметике Симона Стевена из Брюгса (Лейден, 1625 г.) Возможно, Паскаль не знал
об этих авторах. Однако он определенно знал о Курсе математики Эригона (Париж, 1634 г.), поскольку он несколько
раз ссылался на данную работу в своем Трактате
об арифметическом треугольнике. Эригон использует таблицу чисел,
аналогичную Арифметическому Треугольнику, для определения биномиальных
коэффициентов. Возможно, этот ореол, ослепляющий современников Паскаля (и в то
же время заставивший их упустить из виду некоторые работы Ферма), действует на
нас и сегодня.
19. Если мы посчитаем происхождение теории доказанным и рассмотрим ее развитие, то несомненно окажется, что самым большим импульсом для теории в 1650-60 гг. должна была послужить публикация О расчетах при азартных играх Христиана Гюйгенса. Гюйгенс прибыл в Париж в июле 1655 г. молодым человеком 26 лет, совершая путешествие для завершения образования. Он не встретил Паскаля, Ферма или Каркави, близкого друга Паскаля, но зато познакомился с Робервалем, профессором математики из Королевского колледжа Франции, про которого Паскаль упоминал как о еще одном приближенном Шевалье де Мере. Гюйгенс оставался в Париже с июля по ноябри и после возвращения в Голландию начал переписку с Каркави и Ферма, продолжавшуюся годы. Воображение молодого человека несомненно разожгли споры, имевшие место во время его пребывания в Париже. Его двигало и математическое честолюбие, поощряемое широкой деятельностью группы, которая примерно через 10 лет (в 1665 г.) основала Академию наук. Он самостоятельно работал, и в марте 1656 г. написал профессору Ван Шутену, что он подготовил рукопись об играх с игральными костями. Фрэнсис Шутен был профессором математики в Лейдене и являлся учителем Гюйгенса. Он взял рукопись молодого Гюйгенса (написанную на его родном языке), перевел ее на латинский и опубликовал как приложение к своим Математическим упражнениям в 1657 г. (Французский перевод этого приложения можно найти в Произведениях Гюйгенса, том 14, в Вычислении вероятностей, опубликованных в 1920 г.) В трактате О расчетах при азартных играх Гюйгенс систематически изложил то, что он изучил в Париже, и добавил несколько собственных результатов.
В письме к Фрэнсису Шутену он пишет:
…quelques-uns des plus Célèbres Mathématiciens de toute la France se sont occupés de ce genre de Calcul, afin que ne m’attribue l’honneur de la première Invention qui ne m’appartient pas. Mais ces savants…ont cependant caches leurs methods. J’ai donc dû examiner et approfondir moi-même toute cette matière àcommencer par les elements, et il m’est impossible pour la raison que je viens de mentionner d’affirner que nous sommes parties d’un premier principe…
Соответственно, Гюйгенс начинает с доказательства своего основного утверждения, посвящает некоторое время проблеме исходов и затем переходит к играм с игральными костями. Его последнее предложение (XIV) затрагивает знакомую тему:
Пусть я и другой игрок бросаем две кости с условием, что я выиграю, если получу 7, а он выиграет, если получит 6, причем я позволяю ему сделать первый бросок. Надо найти мои и его шансы на выигрыш.
Его формулировка четырнадцатого предложения похвально ясная и краткая, и неудивительно, что трактат использовался как учебник математиками вплоть до времени Джеймса Бернулли (перепечатавшего его) и далее. Возможно, благодаря такой кристаллизации идей французских математиков Гюйгенс, получил право считаться отцом теории вероятностей.
20. После Гюйгенса интерес специалистов по теории вероятностей распространялся не только на область азартных игр, хотя и этот интерес не умирал порядка сотни лет. Но с Гюйгенсом, похоже, было открыто новое исчисление, и потому сейчас самый подходящий момент, чтобы прерваться. Много вопросов остается без ответов. Чертежи и рисунки палеолитического человека очень редки, и вряд ли мы найдем рисунки, изображающие его отдых. Если он считал таранные кости игрушками, то он, должно быть, украшал их резьбой или иным образом; однако я не смог найти никаких записей об этом.
Но хотя мы не можем снять завесу даже с четырех
столетий, все же существует вероятность, что историки, изучающие доисторические
времена, когда-нибудь смогут вернуть нас дальше, чем к третьему тысячелетию.
Чем глубже в века возвращаться, тем более фрагментарны свидетельства, однако
самые ранние найденные игральные кости описываются как ‘обожженные керамические
изделия темно-желтого цвета’, и они определенно не были самыми первыми
игральными костями.
Для нынешнего писателя привлекателен период от
изобретения печати до 1600 г. н. э. Нам известно только о двух математиках
этого периода, вычисляющих вероятности, хотя это было время огромного
интеллектуального влияния итальянского Возрождения. С трудом верится, что не
было других естествоиспытателей, пытающихся проводить подобные вычисления, но
документы, подтверждающие это, если и существуют, то только сейчас случайно
выходят на свет
Переписка между французскими математиками первой
половины семнадцатого века собрана почти полностью, и предположительно есть
возможность найти остальные письма. Они все, кажется, в то или иное время
посылали письма одному другу, выдавая их за письма от другого человека, и такие
послания могут приписываться не тем людям. Однако имеется достаточно информации
о математиках семнадцатого века, чтобы составить ясную картину, и если кажется,
что я не уделил этой теме достаточно внимания, так это потому, что данный
период кажется мне настолько интересным, что я надеюсь при подходящем случае
написать об этом более подробно.
Поиск информации об азартных играх и играх с игральными костями был моим хобби в течение определенного периода времени, и перечень людей, обращавших мое внимание на тот или иной аспект этой тематики, огромен. Я хочу поблагодарить профессора Б. Ашмола из Британского музея, который предоставил мне возможность внимательно изучить находящиеся под его присмотром игральные кости классического периода, и также М. Жана Шарбоне из Музея Лувр, оказавшего мне аналогичную услугу. К профессору С. М. Робертсону я обязан не только возможностью исследования большого многих игральных костей, но также стимулирующими меня беседами и полезными ссылками. А. Дж. Аркел дал мне возможность изучить игральные кости, привезенные профессором Сэром Флиндерсом Петри из Египта, а также предоставил фотографии различных игральных досок, которые в данной статье не приведены. Благодаря широте знаний и начитанности мисс М. С. Дроуер я узнал о многих египетских настольных играх и получил возможность разгадывать увлекательные загадки о том, как в эти игры играли. Мисс Дж. Лойе и Р. Грейвз предоставили мне разнообразные ссылки в классической литературе. Иллюстрация к игре «Гончие и шакалы» появилась в статье благодаря любезности Метрополитен-Музея Нью-Йорка.
Я хочу поблагодарить доктора Дж. Г. Уиллиса, который
перевел для меня Sive de ludo talario
Николо Леонико, доктора Е. Г. Торна, предоставившего перевод письма Галилео об
игральных костях, профессора Б. Уоледжа, обратившего мое внимание на ранние
французские пьесы, и мисс Дж. Тоуненд, нарисовавшую Рис. 1. Мисс Дж. Пирсон и мисс А. Лодже помогли мне с
фотографиями. Работой в целом я во многом обязан критическим способностям
профессора И. С Пирсона и профессора М. Г. Кенделла. Часть работы была
проделана при поддержке гранта Центрального фонда исследований Лондонского
университета.
Оригинал:
F. N. David, Studies in the
History of Probability and Statistics, I. Dicing and
Gaming, Biometrika, 42 (1955), 1 (A Note on the History of Probability)
[1] Таранная кость – небольшая кость в лодыжке непосредственно под пяточной костью. См. Рис. 2a
[2] Из названия «игра в бабки» мы можем заключить, что в числе ранних игр были такие, в которых таранные кости ставились на сустав пальца, подбрасывались и снова ловились
[3] Возможно, это ранняя форма нард или шаффлборда
[4] Я не проверял эти фигуры на смещение. Я думаю, что они являются развитие игральных костей, а не таранных костей
[5] Далее я планирую написать о ‘вероятностях предсказаний’ более подробно
[6] Л. А. Уэдделл, Буддизм Тибета, Компания У. Хэффер и сыновья. 1934 (второе издание).
[7] По мнению редактора текста пьесы «Игра Святого Николая» Ф. Дж. Уорна, ‘шанс’ означает выпадение на игральных костях определенного числа точек, в зависимости от игры. В современной теории вероятностей значение, конечно, значительно шире.
[8] Рабле на самом деле написал ‘en usage l’anticque jeu des tables ainsi qu’en a escript Leonicus’. Дюше в своих комментариях к изданию 1741 г. отметил: ‘Ce n’est point tables qu’il faut lire ici, comme dans toutes les Editions, mais tales’. По-видимому, Дюше (а за ним и последующие комментаторы) сделали такое исправление, из-за ссылки в работе Леонико. Возможно, что Рабле имел в виду античную настольную игру (из которой возникли современные нарды), в которой фигуры передвигались после бросания таранных костей. Подсчет результатов броска был описан Леонико.
[9] Я не смог выяснить, почему Рабле упоминает Ласкариса. Андре-Жан Ласкарис по фамилии Риндакон (1445-1535 гг.), греческий ученый, родившийся во Фригии, был библиотекарем Франсуа I. Он спас от турков множество греческих рукописей. Может быть, он собирал ссылки на азартные игры в греческой литературе точно так же, как и Леонико – в римской литературе?
[10] Е. С. Пирсон высказал мне предположение, что это нудное многословие было общим для Галилео и других писателей эпохи Возрождения, и что оно стало следствием усилий ранних математиков, необходимых им для того, чтобы изложить математические абстракции на бумаге.
[11] Это собственное название Галилео. Более поздний заголовок, Considerazione sopra il Giuco dei Dadi, впервые появился в собрании сочинений 1718 г.
[12] Как и Паскаль несколько позднее, Галилео писал, чтобы изложить решение проблемы, поставленной ему игроком.
[13] М. Г. Кенделл обратил мое внимание на то, что задача, поставленная Шевалье де Мере Паскалю, касается проблемы исходов, в которой участвуют столь же маленькие вероятности.
[14] Интересно, что Паскаль попал в похожую западню, ставшую причиной дискуссий с Даламбером. При обсуждении игры в орел и решку при бросании монеты Даламбер утверждал, что вероятность выпадения орла в двух бросаниях монет равна 2/3. Поскольку у нас могут быть результаты РР, РО, О – в последнем случае второй бросок несущественен: ведь мы уже получили то, что хотели.